Leysa {l}{x/4-3/8y=3}{5/3x-y/2=12}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } - \frac { 3 } { 8 } y = 3 } \\ { \frac { 5 } { 3 } x - \frac { y } { 2 } = 12 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6$$

$$y=-4$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 8, minnsta sameiginlega margfeldi 4,8.

$$2x-3y=24$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 3,2.

$$10x-3y=72$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-3y=24$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=3y+24$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 24+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

Settu \frac{3y}{2}+12 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 10x-3y=72.

$$10\left(\frac{3}{2}y+12\right)-3y=72$$

Margfaldaðu 10 sinnum \frac{3y}{2}+12.

$$15y+120-3y=72$$

Leggðu 15y saman við -3y.

$$12y+120=72$$

Dragðu 120 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$12y=-48$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í x=\frac{3}{2}y+12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{2}\left(-4\right)+12$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum -4.

$$x=-6+12$$

Leggðu 12 saman við -6.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=-4$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 8, minnsta sameiginlega margfeldi 4,8.

$$2x-3y=24$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 3,2.

$$10x-3y=72$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}\\-\frac{10}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 24+\frac{1}{8}\times 72\\-\frac{5}{12}\times 24+\frac{1}{12}\times 72\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=6,y=-4$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 8, minnsta sameiginlega margfeldi 4,8.

$$2x-3y=24$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 3,2.

$$10x-3y=72$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

Dragðu 10x-3y=72 frá 2x-3y=24 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-10x-3y+3y=24-72$$

Leggðu -3y saman við 3y. Liðirnir -3y og 3y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2x-10x=24-72$$

Leggðu 2x saman við -10x.

$$-8x=24-72$$

Leggðu 24 saman við -72.

$$-8x=-48$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$x=6$$

Skiptu 6 út fyrir x í 10x-3y=72. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$10\times 6-3y=72$$

Margfaldaðu 10 sinnum 6.

$$60-3y=72$$

Dragðu 60 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3y=12$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=-4$$