Leysa {l}{27x/25+9/10y=1008}{11/10x+43/5y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 27 x } { 25 } + \frac { 9 } { 10 } y = 1008 } \\ { \frac { 11 } { 10 } x + \frac { 43 } { 5 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{430200}{461} = 933\frac{87}{461} \approx 933.188720174$$

$$y=\frac{80}{461}\approx 0.173535792$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 50, minnsta sameiginlega margfeldi 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

Margfaldaðu 2 og 27 til að fá út 54.

$$54x+45y=50400$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$54x+45y=50400$$

Dragðu 45y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$54x=-45y+50400$$

Deildu báðum hliðum með 54.

$$x=\frac{1}{54}\left(-45y+50400\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{54} sinnum -45y+50400.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

Settu -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{43}{5}y=1028$$

Margfaldaðu \frac{11}{10} sinnum -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{11}{12}y+\frac{3080}{3}+\frac{43}{5}y=1028$$

Leggðu -\frac{11y}{12} saman við \frac{43y}{5}.

$$\frac{461}{60}y+\frac{3080}{3}=1028$$

Dragðu \frac{3080}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{461}{60}y=\frac{4}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{461}{60}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{80}{461}$$

Skiptu \frac{80}{461} út fyrir y í x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{6}\times \frac{80}{461}+\frac{2800}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{6} sinnum \frac{80}{461} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{200}{1383}+\frac{2800}{3}$$

Leggðu \frac{2800}{3} saman við -\frac{200}{1383} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{430200}{461}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 50, minnsta sameiginlega margfeldi 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

Margfaldaðu 2 og 27 til að fá út 54.

$$54x+45y=50400$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{43}{5}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&-\frac{45}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&\frac{54}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}&-\frac{50}{461}\\-\frac{11}{4149}&\frac{60}{461}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}\times 50400-\frac{50}{461}\times 1028\\-\frac{11}{4149}\times 50400+\frac{60}{461}\times 1028\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{430200}{461}\\\frac{80}{461}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 50, minnsta sameiginlega margfeldi 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

Margfaldaðu 2 og 27 til að fá út 54.

$$54x+45y=50400$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Til að gera 54x og \frac{11x}{10} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með \frac{11}{10} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 54.

$$\frac{11}{10}\times 54x+\frac{11}{10}\times 45y=\frac{11}{10}\times 50400,54\times \frac{11}{10}x+54\times \frac{43}{5}y=54\times 1028$$

Einfaldaðu.

$$\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440,\frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512$$

Dragðu \frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512 frá \frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{297}{5}x-\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

Leggðu \frac{297x}{5} saman við -\frac{297x}{5}. Liðirnir \frac{297x}{5} og -\frac{297x}{5} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

Leggðu \frac{99y}{2} saman við -\frac{2322y}{5}.

$$-\frac{4149}{10}y=55440-55512$$

Leggðu 55440 saman við -55512.

$$-\frac{4149}{10}y=-72$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{4149}{10}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{80}{461}$$

Skiptu \frac{80}{461} út fyrir y í \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}\times \frac{80}{461}=1028$$

Margfaldaðu \frac{43}{5} sinnum \frac{80}{461} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$\frac{11}{10}x+\frac{688}{461}=1028$$

Dragðu \frac{688}{461} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{11}{10}x=\frac{473220}{461}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{11}{10}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{430200}{461}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$