Leysa {l}{2x-y+3/3-x-2y+3/4=4}{3x-4y+3/4+4x-2y-9/3=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y + 3 } { 3 } - \frac { x - 2 y + 3 } { 4 } = 4 } \\ { \frac { 3 x - 4 y + 3 } { 4 } + \frac { 4 x - 2 y - 9 } { 3 } = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=7$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 12, minnsta sameiginlega margfeldi 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 4 með 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -3 með x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Sameinaðu 8x og -3x til að fá 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Sameinaðu -4y og 6y til að fá 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

Dragðu 9 frá 12 til að fá út 3.

$$5x+2y+3=48$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum.

$$5x+2y=48-3$$

Dragðu 3 frá 48 til að fá út 45.

$$5x+2y=45$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 12, minnsta sameiginlega margfeldi 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 4 með 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Sameinaðu 9x og 16x til að fá 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Sameinaðu -12y og -8y til að fá -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

Dragðu 36 frá 9 til að fá út -27.

$$25x-20y-27=48$$

Bættu 27 við báðar hliðar.

$$25x-20y=48+27$$

Leggðu saman 48 og 27 til að fá 75.

$$25x-20y=75$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+2y=45$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-2y+45$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+45\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -2y+45.

$$x=-\frac{2}{5}y+9$$

Settu -\frac{2y}{5}+9 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 25x-20y=75.

$$25\left(-\frac{2}{5}y+9\right)-20y=75$$

Margfaldaðu 25 sinnum -\frac{2y}{5}+9.

$$-10y+225-20y=75$$

Leggðu -10y saman við -20y.

$$-30y+225=75$$

Dragðu 225 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-30y=-150$$

Deildu báðum hliðum með -30.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=-\frac{2}{5}y+9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{5}\times 5+9$$

Margfaldaðu -\frac{2}{5} sinnum 5.

$$x=-2+9$$

Leggðu 9 saman við -2.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=5$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 12, minnsta sameiginlega margfeldi 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 4 með 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -3 með x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Sameinaðu 8x og -3x til að fá 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Sameinaðu -4y og 6y til að fá 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

Dragðu 9 frá 12 til að fá út 3.

$$5x+2y+3=48$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum.

$$5x+2y=48-3$$

Dragðu 3 frá 48 til að fá út 45.

$$5x+2y=45$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 12, minnsta sameiginlega margfeldi 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 4 með 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Sameinaðu 9x og 16x til að fá 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Sameinaðu -12y og -8y til að fá -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

Dragðu 36 frá 9 til að fá út -27.

$$25x-20y-27=48$$

Bættu 27 við báðar hliðar.

$$25x-20y=48+27$$

Leggðu saman 48 og 27 til að fá 75.

$$25x-20y=75$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{5\left(-20\right)-2\times 25}&-\frac{2}{5\left(-20\right)-2\times 25}\\-\frac{25}{5\left(-20\right)-2\times 25}&\frac{5}{5\left(-20\right)-2\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{75}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 45+\frac{1}{75}\times 75\\\frac{1}{6}\times 45-\frac{1}{30}\times 75\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=7,y=5$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 12, minnsta sameiginlega margfeldi 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 4 með 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -3 með x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Sameinaðu 8x og -3x til að fá 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Sameinaðu -4y og 6y til að fá 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

Dragðu 9 frá 12 til að fá út 3.

$$5x+2y+3=48$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum.

$$5x+2y=48-3$$

Dragðu 3 frá 48 til að fá út 45.

$$5x+2y=45$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 12, minnsta sameiginlega margfeldi 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 4 með 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Sameinaðu 9x og 16x til að fá 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Sameinaðu -12y og -8y til að fá -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

Dragðu 36 frá 9 til að fá út -27.

$$25x-20y-27=48$$

Bættu 27 við báðar hliðar.

$$25x-20y=48+27$$

Leggðu saman 48 og 27 til að fá 75.

$$25x-20y=75$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Til að gera 5x og 25x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 25 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$25\times 5x+25\times 2y=25\times 45,5\times 25x+5\left(-20\right)y=5\times 75$$

Einfaldaðu.

$$125x+50y=1125,125x-100y=375$$

Dragðu 125x-100y=375 frá 125x+50y=1125 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$125x-125x+50y+100y=1125-375$$

Leggðu 125x saman við -125x. Liðirnir 125x og -125x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$50y+100y=1125-375$$

Leggðu 50y saman við 100y.

$$150y=1125-375$$

Leggðu 1125 saman við -375.

$$150y=750$$

Deildu báðum hliðum með 150.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í 25x-20y=75. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$25x-20\times 5=75$$

Margfaldaðu -20 sinnum 5.

$$25x-100=75$$

Leggðu 100 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$25x=175$$

Deildu báðum hliðum með 25.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=5$$