Leysa {l}{2x+3/3y-2=1}{x(2y-5)-2y(x+3)=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 3 } { 3 y - 2 } = 1 } \\ { x ( 2 y - 5 ) - 2 y ( x + 3 ) = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Breytan y getur ekki verið jöfn \frac{2}{3}, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$2x+3-3y=-2$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum.

$$2x-3y=-2-3$$

Dragðu 3 frá -2 til að fá út -5.

$$2x-3y=-5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda x með 2y-5.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -2y með x+3.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

Sameinaðu 2xy og -2yx til að fá 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

Sameinaðu -5x og -2x til að fá -7x.

$$-7x-6y=1$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-3y=-5$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=3y-5$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 3y-5.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

Settu \frac{3y-5}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -7x-6y=1.

$$-7\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)-6y=1$$

Margfaldaðu -7 sinnum \frac{3y-5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-6y=1$$

Leggðu -\frac{21y}{2} saman við -6y.

$$-\frac{33}{2}y+\frac{35}{2}=1$$

Dragðu \frac{35}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{33}{2}y=-\frac{33}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{33}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3-5}{2}$$

Leggðu -\frac{5}{2} saman við \frac{3}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=1$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Breytan y getur ekki verið jöfn \frac{2}{3}, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$2x+3-3y=-2$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum.

$$2x-3y=-2-3$$

Dragðu 3 frá -2 til að fá út -5.

$$2x-3y=-5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda x með 2y-5.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -2y með x+3.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

Sameinaðu 2xy og -2yx til að fá 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

Sameinaðu -5x og -2x til að fá -7x.

$$-7x-6y=1$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}&-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}\left(-5\right)-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=1$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Breytan y getur ekki verið jöfn \frac{2}{3}, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$2x+3-3y=-2$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum.

$$2x-3y=-2-3$$

Dragðu 3 frá -2 til að fá út -5.

$$2x-3y=-5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda x með 2y-5.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -2y með x+3.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

Sameinaðu 2xy og -2yx til að fá 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

Sameinaðu -5x og -2x til að fá -7x.

$$-7x-6y=1$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

Til að gera 2x og -7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-7\times 2x-7\left(-3\right)y=-7\left(-5\right),2\left(-7\right)x+2\left(-6\right)y=2$$

Einfaldaðu.

$$-14x+21y=35,-14x-12y=2$$

Dragðu -14x-12y=2 frá -14x+21y=35 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-14x+14x+21y+12y=35-2$$

Leggðu -14x saman við 14x. Liðirnir -14x og 14x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$21y+12y=35-2$$

Leggðu 21y saman við 12y.

$$33y=35-2$$

Leggðu 35 saman við -2.

$$33y=33$$

Deildu báðum hliðum með 33.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í -7x-6y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-7x-6=1$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-7x=7$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=1$$