Leysa {l}{1/2x-2/3y-5=0}{3y+x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 2 } { 3 } y - 5 = 0 } \\ { 3 y + x = 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{114}{13} = 8\frac{10}{13} \approx 8.769230769$$

$$y=-\frac{12}{13}\approx -0.923076923$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0$$

Leggðu 5 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y=5$$

Leggðu \frac{2y}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{1}{2}x=\frac{2}{3}y+5$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$x=2\left(\frac{2}{3}y+5\right)$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{2y}{3}+5.

$$x=\frac{4}{3}y+10$$

Settu \frac{4y}{3}+10 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+3y=6.

$$\frac{4}{3}y+10+3y=6$$

Leggðu \frac{4y}{3} saman við 3y.

$$\frac{13}{3}y+10=6$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{13}{3}y=-4$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{13}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{12}{13}$$

Skiptu -\frac{12}{13} út fyrir y í x=\frac{4}{3}y+10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{4}{3}\left(-\frac{12}{13}\right)+10$$

Margfaldaðu \frac{4}{3} sinnum -\frac{12}{13} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{16}{13}+10$$

Leggðu 10 saman við -\frac{16}{13}.

$$x=\frac{114}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}&-\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}&\frac{4}{13}\\-\frac{6}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\times 5+\frac{4}{13}\times 6\\-\frac{6}{13}\times 5+\frac{3}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{114}{13}\\-\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

Til að gera \frac{x}{2} og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\times 3y=\frac{1}{2}\times 6$$

Einfaldaðu.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=3$$

Dragðu \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=3 frá \frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-\frac{3}{2}y-5=-3$$

Leggðu \frac{x}{2} saman við -\frac{x}{2}. Liðirnir \frac{x}{2} og -\frac{x}{2} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{3}{2}y-5=-3$$

Leggðu -\frac{2y}{3} saman við -\frac{3y}{2}.

$$-\frac{13}{6}y-5=-3$$

Leggðu 5 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{13}{6}y=2$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{13}{6}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{12}{13}$$

Skiptu -\frac{12}{13} út fyrir y í x+3y=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+3\left(-\frac{12}{13}\right)=6$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{12}{13}.

$$x-\frac{36}{13}=6$$

Leggðu \frac{36}{13} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{114}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$