Leysa {c}{y=x-3}{2x+y=3}

$$\left. \begin{array} { c } { y = x - 3 } \\ { 2 x + y = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=2$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=-3$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-x=-3,y+2x=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-x=-3$$

Leggðu x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=x-3$$

Settu x-3 inn fyrir y í hinni jöfnunni, y+2x=3.

$$x-3+2x=3$$

Leggðu x saman við 2x.

$$3x-3=3$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=2$$

Skiptu 2 út fyrir x í y=x-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=2-3$$

Leggðu -3 saman við 2.

$$y=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-1,x=2$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=-3$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-x=-3,y+2x=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{1}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(-3\right)+\frac{1}{3}\times 3\\-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-1,x=2$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=-3$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-x=-3,y+2x=3$$

Dragðu y+2x=3 frá y-x=-3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y-x-2x=-3-3$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-x-2x=-3-3$$

Leggðu -x saman við -2x.

$$-3x=-3-3$$

Leggðu -3 saman við -3.

$$-3x=-6$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=2$$

Skiptu 2 út fyrir x í y+2x=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y+2\times 2=3$$

Margfaldaðu 2 sinnum 2.

$$y+4=3$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-1,x=2$$