Leysa {c}{x_{1}+3x_{2}-x_{3}+2x_{4}=7}{3x_{1}+10x_{2}-3x_{3}+6x_{4}=21}

$$\left. \begin{array} { c } { x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } - x _ { 3 } + 2 x _ { 4 } = 7 } \\ { 3 x _ { 1 } + 10 x _ { 2 } - 3 x _ { 3 } + 6 x _ { 4 } = 21 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x_1, x_2

$$x_{1}=x_{3}-2x_{4}+7$$

$$x_{2}=0$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x_{1}+3x_{2}+2x_{4}-x_{3}=7,3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x_{1} með því að einangra x_{1} vinstra megin við samasemmerkið.

$$x_{1}+3x_{2}+2x_{4}-x_{3}=7$$

Dragðu -x_{3}+2x_{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x_{1}+3x_{2}=x_{3}-2x_{4}+7$$

Dragðu 3x_{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x_{1}=-3x_{2}+x_{3}-2x_{4}+7$$

Settu -3x_{2}+7+x_{3}-2x_{4} inn fyrir x_{1} í hinni jöfnunni, 3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21.

$$3\left(-3x_{2}+x_{3}-2x_{4}+7\right)+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Margfaldaðu 3 sinnum -3x_{2}+7+x_{3}-2x_{4}.

$$-9x_{2}+3x_{3}-6x_{4}+21+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Leggðu -9x_{2} saman við 10x_{2}.

$$x_{2}+3x_{3}-6x_{4}+21+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Leggðu 21+3x_{3}-6x_{4} saman við -3x_{3}+6x_{4}.

$$x_{2}+21=21$$

Dragðu 21 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x_{2}=0$$

Skiptu 0 út fyrir x_{2} í x_{1}=-3x_{2}+x_{3}-2x_{4}+7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x_{1} strax.

$$x_{1}=x_{3}-2x_{4}+7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x_{1}=x_{3}-2x_{4}+7,x_{2}=0$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x_{1}+3x_{2}+2x_{4}-x_{3}=7,3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x_{3}-2x_{4}+7\\3x_{3}-6x_{4}+21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&3\\3&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{3}-2x_{4}+7\\3x_{3}-6x_{4}+21\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{3}-2x_{4}+7\\3x_{3}-6x_{4}+21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{3}-2x_{4}+7\\3x_{3}-6x_{4}+21\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10-3\times 3}&-\frac{3}{10-3\times 3}\\-\frac{3}{10-3\times 3}&\frac{1}{10-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}-2x_{4}+7\\3x_{3}-6x_{4}+21\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10&-3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}-2x_{4}+7\\3x_{3}-6x_{4}+21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\left(x_{3}-2x_{4}+7\right)-3\left(3x_{3}-6x_{4}+21\right)\\-3\left(x_{3}-2x_{4}+7\right)+3x_{3}-6x_{4}+21\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x_{3}-2x_{4}+7\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x_{1} og x_{2}.

$$x_{1}=x_{3}-2x_{4}+7,x_{2}=0$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x_{1}+3x_{2}+2x_{4}-x_{3}=7,3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Til að gera x_{1} og 3x_{1} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$3x_{1}+3\times 3x_{2}+3\left(2x_{4}-x_{3}\right)=3\times 7,3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Einfaldaðu.

$$3x_{1}+9x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21,3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Dragðu 3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21 frá 3x_{1}+9x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x_{1}-3x_{1}+9x_{2}-10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}+3x_{3}-6x_{4}=21-21$$

Leggðu 3x_{1} saman við -3x_{1}. Liðirnir 3x_{1} og -3x_{1} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$9x_{2}-10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}+3x_{3}-6x_{4}=21-21$$

Leggðu 9x_{2} saman við -10x_{2}.

$$-x_{2}+6x_{4}-3x_{3}+3x_{3}-6x_{4}=21-21$$

Leggðu -3x_{3}+6x_{4} saman við 3x_{3}-6x_{4}.

$$-x_{2}=21-21$$

Leggðu 21 saman við -21.

$$-x_{2}=0$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x_{2}=0$$

Skiptu 0 út fyrir x_{2} í 3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x_{1} strax.

$$3x_{1}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Dragðu -3x_{3}+6x_{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x_{1}=3x_{3}-6x_{4}+21$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x_{1}=x_{3}-2x_{4}+7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x_{1}=x_{3}-2x_{4}+7,x_{2}=0$$