Leysa {c}{4x+2y=8}{16x-y=14}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 2 y = 8 } \\ { 16 x - y = 14 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+2y=8$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-2y+8$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+8\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -2y+8.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

Settu -\frac{y}{2}+2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 16x-y=14.

$$16\left(-\frac{1}{2}y+2\right)-y=14$$

Margfaldaðu 16 sinnum -\frac{y}{2}+2.

$$-8y+32-y=14$$

Leggðu -8y saman við -y.

$$-9y+32=14$$

Dragðu 32 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-9y=-18$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+2$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum 2.

$$x=-1+2$$

Leggðu 2 saman við -1.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-2\times 16}&-\frac{2}{4\left(-1\right)-2\times 16}\\-\frac{16}{4\left(-1\right)-2\times 16}&\frac{4}{4\left(-1\right)-2\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{36}&\frac{1}{18}\\\frac{4}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{36}\times 8+\frac{1}{18}\times 14\\\frac{4}{9}\times 8-\frac{1}{9}\times 14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

Til að gera 4x og 16x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 16 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$16\times 4x+16\times 2y=16\times 8,4\times 16x+4\left(-1\right)y=4\times 14$$

Einfaldaðu.

$$64x+32y=128,64x-4y=56$$

Dragðu 64x-4y=56 frá 64x+32y=128 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$64x-64x+32y+4y=128-56$$

Leggðu 64x saman við -64x. Liðirnir 64x og -64x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$32y+4y=128-56$$

Leggðu 32y saman við 4y.

$$36y=128-56$$

Leggðu 128 saman við -56.

$$36y=72$$

Deildu báðum hliðum með 36.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 16x-y=14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$16x-2=14$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$16x=16$$

Deildu báðum hliðum með 16.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=2$$