Leysa {c}{2x+y=5}{3x-4y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + y = 5 } \\ { 3 x - 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+y=5,3x-4y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+y=5$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-y+5$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -y+5.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Settu \frac{-y+5}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-4y=2.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)-4y=2$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-y+5}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}-4y=2$$

Leggðu -\frac{3y}{2} saman við -4y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{15}{2}=2$$

Dragðu \frac{15}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{11}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{11}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{-1+5}{2}$$

Leggðu \frac{5}{2} saman við -\frac{1}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+y=5,3x-4y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-4\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-4\right)-3}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 5+\frac{1}{11}\times 2\\\frac{3}{11}\times 5-\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+y=5,3x-4y=2$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3y=3\times 5,2\times 3x+2\left(-4\right)y=2\times 2$$

Einfaldaðu.

$$6x+3y=15,6x-8y=4$$

Dragðu 6x-8y=4 frá 6x+3y=15 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+3y+8y=15-4$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y+8y=15-4$$

Leggðu 3y saman við 8y.

$$11y=15-4$$

Leggðu 15 saman við -4.

$$11y=11$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í 3x-4y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-4=2$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=1$$