Leysa {c}{2x+4y=1}{5x-y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 4 y = 1 } \\ { 5 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{9}{22}\approx 0.409090909$$

$$y=\frac{1}{22}\approx 0.045454545$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+4y=1$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-4y+1$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -4y+1.

$$x=-2y+\frac{1}{2}$$

Settu -2y+\frac{1}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x-y=2.

$$5\left(-2y+\frac{1}{2}\right)-y=2$$

Margfaldaðu 5 sinnum -2y+\frac{1}{2}.

$$-10y+\frac{5}{2}-y=2$$

Leggðu -10y saman við -y.

$$-11y+\frac{5}{2}=2$$

Dragðu \frac{5}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-11y=-\frac{1}{2}$$

Deildu báðum hliðum með -11.

$$y=\frac{1}{22}$$

Skiptu \frac{1}{22} út fyrir y í x=-2y+\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\times \frac{1}{22}+\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{1}{22}.

$$x=-\frac{1}{11}+\frac{1}{2}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við -\frac{1}{11} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{9}{22}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-1\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{2}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}+\frac{2}{11}\times 2\\\frac{5}{22}-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{22}\\\frac{1}{22}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

Til að gera 2x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5,2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

Einfaldaðu.

$$10x+20y=5,10x-2y=4$$

Dragðu 10x-2y=4 frá 10x+20y=5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x+20y+2y=5-4$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$20y+2y=5-4$$

Leggðu 20y saman við 2y.

$$22y=5-4$$

Leggðu 5 saman við -4.

$$22y=1$$

Deildu báðum hliðum með 22.

$$y=\frac{1}{22}$$

Skiptu \frac{1}{22} út fyrir y í 5x-y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x-\frac{1}{22}=2$$

Leggðu \frac{1}{22} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=\frac{45}{22}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{9}{22}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$