Leysa {c}{14x-4y=0}{-15x+31y=600}

$$\left. \begin{array} { c } { 14 x - 4 y = 0 } \\ { - 15 x + 31 y = 600 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{1200}{187} = 6\frac{78}{187} \approx 6.417112299$$

$$y = \frac{4200}{187} = 22\frac{86}{187} \approx 22.459893048$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$14x-4y=0,-15x+31y=600$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$14x-4y=0$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$14x=4y$$

Deildu báðum hliðum með 14.

$$x=\frac{1}{14}\times 4y$$

Margfaldaðu \frac{1}{14} sinnum 4y.

$$x=\frac{2}{7}y$$

Settu \frac{2y}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -15x+31y=600.

$$-15\times \frac{2}{7}y+31y=600$$

Margfaldaðu -15 sinnum \frac{2y}{7}.

$$-\frac{30}{7}y+31y=600$$

Leggðu -\frac{30y}{7} saman við 31y.

$$\frac{187}{7}y=600$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{187}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{4200}{187}$$

Skiptu \frac{4200}{187} út fyrir y í x=\frac{2}{7}y. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{7}\times \frac{4200}{187}$$

Margfaldaðu \frac{2}{7} sinnum \frac{4200}{187} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{1200}{187}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1200}{187},y=\frac{4200}{187}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$14x-4y=0,-15x+31y=600$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}14&-4\\-15&31\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\600\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}14&-4\\-15&31\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}14&-4\\-15&31\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14&-4\\-15&31\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-4\\-15&31\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\600\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-4\\-15&31\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\600\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-4\\-15&31\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\600\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{14\times 31-\left(-4\left(-15\right)\right)}&-\frac{-4}{14\times 31-\left(-4\left(-15\right)\right)}\\-\frac{-15}{14\times 31-\left(-4\left(-15\right)\right)}&\frac{14}{14\times 31-\left(-4\left(-15\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\600\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{374}&\frac{2}{187}\\\frac{15}{374}&\frac{7}{187}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\600\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{187}\times 600\\\frac{7}{187}\times 600\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1200}{187}\\\frac{4200}{187}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{1200}{187},y=\frac{4200}{187}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$14x-4y=0,-15x+31y=600$$

Til að gera 14x og -15x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -15 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 14.

$$-15\times 14x-15\left(-4\right)y=0,14\left(-15\right)x+14\times 31y=14\times 600$$

Einfaldaðu.

$$-210x+60y=0,-210x+434y=8400$$

Dragðu -210x+434y=8400 frá -210x+60y=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-210x+210x+60y-434y=-8400$$

Leggðu -210x saman við 210x. Liðirnir -210x og 210x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$60y-434y=-8400$$

Leggðu 60y saman við -434y.

$$-374y=-8400$$

Deildu báðum hliðum með -374.

$$y=\frac{4200}{187}$$

Skiptu \frac{4200}{187} út fyrir y í -15x+31y=600. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-15x+31\times \frac{4200}{187}=600$$

Margfaldaðu 31 sinnum \frac{4200}{187}.

$$-15x+\frac{130200}{187}=600$$

Dragðu \frac{130200}{187} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-15x=-\frac{18000}{187}$$

Deildu báðum hliðum með -15.

$$x=\frac{1200}{187}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1200}{187},y=\frac{4200}{187}$$