Leysa {c}{-2x+7y=10}{3x+7y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { - 2 x + 7 y = 10 } \\ { 3 x + 7 y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$y=\frac{34}{35}\approx 0.971428571$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-2x+7y=10$$

Dragðu 7y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=-7y+10$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+10\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -7y+10.

$$x=\frac{7}{2}y-5$$

Settu \frac{7y}{2}-5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+7y=2.

$$3\left(\frac{7}{2}y-5\right)+7y=2$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{7y}{2}-5.

$$\frac{21}{2}y-15+7y=2$$

Leggðu \frac{21y}{2} saman við 7y.

$$\frac{35}{2}y-15=2$$

Leggðu 15 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{35}{2}y=17$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{35}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{34}{35}$$

Skiptu \frac{34}{35} út fyrir y í x=\frac{7}{2}y-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{34}{35}-5$$

Margfaldaðu \frac{7}{2} sinnum \frac{34}{35} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{17}{5}-5$$

Leggðu -5 saman við \frac{17}{5}.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-2\times 7-7\times 3}&-\frac{7}{-2\times 7-7\times 3}\\-\frac{3}{-2\times 7-7\times 3}&-\frac{2}{-2\times 7-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{35}&\frac{2}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 10+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{3}{35}\times 10+\frac{2}{35}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{5}\\\frac{34}{35}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

Dragðu 3x+7y=2 frá -2x+7y=10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x-3x+7y-7y=10-2$$

Leggðu 7y saman við -7y. Liðirnir 7y og -7y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2x-3x=10-2$$

Leggðu -2x saman við -3x.

$$-5x=10-2$$

Leggðu 10 saman við -2.

$$-5x=8$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Skiptu -\frac{8}{5} út fyrir x í 3x+7y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$3\left(-\frac{8}{5}\right)+7y=2$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{8}{5}.

$$-\frac{24}{5}+7y=2$$

Leggðu \frac{24}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7y=\frac{34}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=\frac{34}{35}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$