Leysa {r}{6x+y=4}{x-4y=19}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 6 x + y = 4 } \\ { x - 4 y = 19 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

$$y = -\frac{22}{5} = -4\frac{2}{5} = -4.4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6x+y=4$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=-y+4$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-y+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum -y+4.

$$x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}$$

Settu -\frac{y}{6}+\frac{2}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-4y=19.

$$-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}-4y=19$$

Leggðu -\frac{y}{6} saman við -4y.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{2}{3}=19$$

Dragðu \frac{2}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{25}{6}y=\frac{55}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{25}{6}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{22}{5}$$

Skiptu -\frac{22}{5} út fyrir y í x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-\frac{22}{5}\right)+\frac{2}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{6} sinnum -\frac{22}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{11}{15}+\frac{2}{3}$$

Leggðu \frac{2}{3} saman við \frac{11}{15} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{7}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-1}&-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}\\-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}&\frac{6}{6\left(-4\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{25}&-\frac{6}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 4+\frac{1}{25}\times 19\\\frac{1}{25}\times 4-\frac{6}{25}\times 19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\\-\frac{22}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

Til að gera 6x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.

$$6x+y=4,6x+6\left(-4\right)y=6\times 19$$

Einfaldaðu.

$$6x+y=4,6x-24y=114$$

Dragðu 6x-24y=114 frá 6x+y=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+y+24y=4-114$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y+24y=4-114$$

Leggðu y saman við 24y.

$$25y=4-114$$

Leggðu 4 saman við -114.

$$25y=-110$$

Deildu báðum hliðum með 25.

$$y=-\frac{22}{5}$$

Skiptu -\frac{22}{5} út fyrir y í x-4y=19. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-4\left(-\frac{22}{5}\right)=19$$

Margfaldaðu -4 sinnum -\frac{22}{5}.

$$x+\frac{88}{5}=19$$

Dragðu \frac{88}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{7}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$