Leysa {l}{y=2-2x}{3x-2y=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 - 2 x } \\ { 3 x - 2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x = \frac{17}{7} = 2\frac{3}{7} \approx 2.428571429$$

$$y = -\frac{20}{7} = -2\frac{6}{7} \approx -2.857142857$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 2x við báðar hliðar.

$$y+2x=2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y+2x=2,-2y+3x=13$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y+2x=2$$

Dragðu 2x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-2x+2$$

Settu -2x+2 inn fyrir y í hinni jöfnunni, -2y+3x=13.

$$-2\left(-2x+2\right)+3x=13$$

Margfaldaðu -2 sinnum -2x+2.

$$4x-4+3x=13$$

Leggðu 4x saman við 3x.

$$7x-4=13$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7x=17$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{17}{7}$$

Skiptu \frac{17}{7} út fyrir x í y=-2x+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-2\times \frac{17}{7}+2$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{17}{7}.

$$y=-\frac{34}{7}+2$$

Leggðu 2 saman við -\frac{34}{7}.

$$y=-\frac{20}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-\frac{20}{7},x=\frac{17}{7}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 2x við báðar hliðar.

$$y+2x=2$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y+2x=2,-2y+3x=13$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3-2\left(-2\right)}&\frac{1}{3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 2-\frac{2}{7}\times 13\\\frac{2}{7}\times 2+\frac{1}{7}\times 13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{7}\\\frac{17}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-\frac{20}{7},x=\frac{17}{7}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 2x við báðar hliðar.

$$y+2x=2$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y+2x=2,-2y+3x=13$$

Til að gera y og -2y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-2y-2\times 2x=-2\times 2,-2y+3x=13$$

Einfaldaðu.

$$-2y-4x=-4,-2y+3x=13$$

Dragðu -2y+3x=13 frá -2y-4x=-4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2y+2y-4x-3x=-4-13$$

Leggðu -2y saman við 2y. Liðirnir -2y og 2y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4x-3x=-4-13$$

Leggðu -4x saman við -3x.

$$-7x=-4-13$$

Leggðu -4 saman við -13.

$$-7x=-17$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$x=\frac{17}{7}$$

Skiptu \frac{17}{7} út fyrir x í -2y+3x=13. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-2y+3\times \frac{17}{7}=13$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{17}{7}.

$$-2y+\frac{51}{7}=13$$

Dragðu \frac{51}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2y=\frac{40}{7}$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=-\frac{20}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-\frac{20}{7},x=\frac{17}{7}$$