Leysa {l}{x-2y=-6}{6x+8y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = - 6 } \\ { 6 x + 8 y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$y = \frac{19}{10} = 1\frac{9}{10} = 1.9$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-2y=-6,6x+8y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-2y=-6$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=2y-6$$

Settu -6+2y inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x+8y=2.

$$6\left(2y-6\right)+8y=2$$

Margfaldaðu 6 sinnum -6+2y.

$$12y-36+8y=2$$

Leggðu 12y saman við 8y.

$$20y-36=2$$

Leggðu 36 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$20y=38$$

Deildu báðum hliðum með 20.

$$y=\frac{19}{10}$$

Skiptu \frac{19}{10} út fyrir y í x=2y-6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2\times \frac{19}{10}-6$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{19}{10}.

$$x=\frac{19}{5}-6$$

Leggðu -6 saman við \frac{19}{5}.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{19}{10}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-2y=-6,6x+8y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{8-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{8-\left(-2\times 6\right)}&\frac{1}{8-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-6\right)+\frac{1}{10}\times 2\\-\frac{3}{10}\left(-6\right)+\frac{1}{20}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{5}\\\frac{19}{10}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{19}{10}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-2y=-6,6x+8y=2$$

Til að gera x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$6x+6\left(-2\right)y=6\left(-6\right),6x+8y=2$$

Einfaldaðu.

$$6x-12y=-36,6x+8y=2$$

Dragðu 6x+8y=2 frá 6x-12y=-36 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-12y-8y=-36-2$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-12y-8y=-36-2$$

Leggðu -12y saman við -8y.

$$-20y=-36-2$$

Leggðu -36 saman við -2.

$$-20y=-38$$

Deildu báðum hliðum með -20.

$$y=\frac{19}{10}$$

Skiptu \frac{19}{10} út fyrir y í 6x+8y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x+8\times \frac{19}{10}=2$$

Margfaldaðu 8 sinnum \frac{19}{10}.

$$6x+\frac{76}{5}=2$$

Dragðu \frac{76}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=-\frac{66}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{19}{10}$$