Leysa {l}{x-13y=5}{4x-3y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 13 y = 5 } \\ { 4 x - 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{11}{49}\approx 0.224489796$$

$$y=-\frac{18}{49}\approx -0.367346939$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-13y=5,4x-3y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-13y=5$$

Leggðu 13y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=13y+5$$

Settu 13y+5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x-3y=2.

$$4\left(13y+5\right)-3y=2$$

Margfaldaðu 4 sinnum 13y+5.

$$52y+20-3y=2$$

Leggðu 52y saman við -3y.

$$49y+20=2$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$49y=-18$$

Deildu báðum hliðum með 49.

$$y=-\frac{18}{49}$$

Skiptu -\frac{18}{49} út fyrir y í x=13y+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=13\left(-\frac{18}{49}\right)+5$$

Margfaldaðu 13 sinnum -\frac{18}{49}.

$$x=-\frac{234}{49}+5$$

Leggðu 5 saman við -\frac{234}{49}.

$$x=\frac{11}{49}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{11}{49},y=-\frac{18}{49}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-13y=5,4x-3y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-13\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-13\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-13\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-13\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-13\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-13\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-13\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-13\times 4\right)}&-\frac{-13}{-3-\left(-13\times 4\right)}\\-\frac{4}{-3-\left(-13\times 4\right)}&\frac{1}{-3-\left(-13\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{49}&\frac{13}{49}\\-\frac{4}{49}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{49}\times 5+\frac{13}{49}\times 2\\-\frac{4}{49}\times 5+\frac{1}{49}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{49}\\-\frac{18}{49}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{11}{49},y=-\frac{18}{49}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-13y=5,4x-3y=2$$

Til að gera x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$4x+4\left(-13\right)y=4\times 5,4x-3y=2$$

Einfaldaðu.

$$4x-52y=20,4x-3y=2$$

Dragðu 4x-3y=2 frá 4x-52y=20 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4x-4x-52y+3y=20-2$$

Leggðu 4x saman við -4x. Liðirnir 4x og -4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-52y+3y=20-2$$

Leggðu -52y saman við 3y.

$$-49y=20-2$$

Leggðu 20 saman við -2.

$$-49y=18$$

Deildu báðum hliðum með -49.

$$y=-\frac{18}{49}$$

Skiptu -\frac{18}{49} út fyrir y í 4x-3y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x-3\left(-\frac{18}{49}\right)=2$$

Margfaldaðu -3 sinnum -\frac{18}{49}.

$$4x+\frac{54}{49}=2$$

Dragðu \frac{54}{49} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=\frac{44}{49}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{11}{49}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{11}{49},y=-\frac{18}{49}$$