Leysa {l}{x=3y+4}{y=1/2x-8/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y + 4 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 8 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=8$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$x-3y=4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{1}{2}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-3y=4$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=3y+4$$

Settu 3y+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}.

$$-\frac{1}{2}\left(3y+4\right)+y=-\frac{8}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum 3y+4.

$$-\frac{3}{2}y-2+y=-\frac{8}{3}$$

Leggðu -\frac{3y}{2} saman við y.

$$-\frac{1}{2}y-2=-\frac{8}{3}$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{2}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -2.

$$y=\frac{4}{3}$$

Skiptu \frac{4}{3} út fyrir y í x=3y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=3\times \frac{4}{3}+4$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{4}{3}.

$$x=4+4$$

Leggðu 4 saman við 4.

$$x=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$x-3y=4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{1}{2}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-6\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-6\left(-\frac{8}{3}\right)\\-4-2\left(-\frac{8}{3}\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$x-3y=4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{1}{2}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Til að gera x og -\frac{x}{2} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -\frac{1}{2} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\left(-3\right)y=-\frac{1}{2}\times 4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Einfaldaðu.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Dragðu -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3} frá -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

Leggðu -\frac{x}{2} saman við \frac{x}{2}. Liðirnir -\frac{x}{2} og \frac{x}{2} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

Leggðu \frac{3y}{2} saman við -y.

$$\frac{1}{2}y=-2+\frac{8}{3}$$

Leggðu -2 saman við \frac{8}{3}.

$$\frac{1}{2}y=\frac{2}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$y=\frac{4}{3}$$

Skiptu \frac{4}{3} út fyrir y í -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

Dragðu \frac{4}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{2}x=-4$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -2.

$$x=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$