Leysa {l}{x+y=50}{10x+20y=500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 50 } \\ { 10 x + 20 y = 500 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=50$$

$$y=0$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=50,10x+20y=500$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=50$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+50$$

Settu -y+50 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 10x+20y=500.

$$10\left(-y+50\right)+20y=500$$

Margfaldaðu 10 sinnum -y+50.

$$-10y+500+20y=500$$

Leggðu -10y saman við 20y.

$$10y+500=500$$

Dragðu 500 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$10y=0$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í x=-y+50. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=50$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=50,y=0$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=50,10x+20y=500$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{20-10}&-\frac{1}{20-10}\\-\frac{10}{20-10}&\frac{1}{20-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{10}\\-1&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 50-\frac{1}{10}\times 500\\-50+\frac{1}{10}\times 500\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=50,y=0$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=50,10x+20y=500$$

Til að gera x og 10x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 10 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$10x+10y=10\times 50,10x+20y=500$$

Einfaldaðu.

$$10x+10y=500,10x+20y=500$$

Dragðu 10x+20y=500 frá 10x+10y=500 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x+10y-20y=500-500$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$10y-20y=500-500$$

Leggðu 10y saman við -20y.

$$-10y=500-500$$

Leggðu 500 saman við -500.

$$-10y=0$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í 10x+20y=500. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$10x=500$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$x=50$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=50,y=0$$