Leysa {l}{x+y=36}{5/7=x/y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 36 } \\ { \frac { 5 } { 7 } = \frac { x } { y } } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=15$$

$$y=21$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Breytan y getur ekki verið jöfn 0, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 7y, minnsta sameiginlega margfeldi 7,y.

$$5y=7x$$

Dragðu 7x frá báðum hliðum.

$$5y-7x=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=36$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+36$$

Settu -y+36 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -7x+5y=0.

$$-7\left(-y+36\right)+5y=0$$

Margfaldaðu -7 sinnum -y+36.

$$7y-252+5y=0$$

Leggðu 7y saman við 5y.

$$12y-252=0$$

Leggðu 252 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$12y=252$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$y=21$$

Skiptu 21 út fyrir y í x=-y+36. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-21+36$$

Leggðu 36 saman við -21.

$$x=15$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=15,y=21$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Breytan y getur ekki verið jöfn 0, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 7y, minnsta sameiginlega margfeldi 7,y.

$$5y=7x$$

Dragðu 7x frá báðum hliðum.

$$5y-7x=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-7\right)}&-\frac{1}{5-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{5-\left(-7\right)}&\frac{1}{5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 36\\\frac{7}{12}\times 36\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\21\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=15,y=21$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Breytan y getur ekki verið jöfn 0, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 7y, minnsta sameiginlega margfeldi 7,y.

$$5y=7x$$

Dragðu 7x frá báðum hliðum.

$$5y-7x=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

Til að gera x og -7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-7x-7y=-7\times 36,-7x+5y=0$$

Einfaldaðu.

$$-7x-7y=-252,-7x+5y=0$$

Dragðu -7x+5y=0 frá -7x-7y=-252 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-7x+7x-7y-5y=-252$$

Leggðu -7x saman við 7x. Liðirnir -7x og 7x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-7y-5y=-252$$

Leggðu -7y saman við -5y.

$$-12y=-252$$

Deildu báðum hliðum með -12.

$$y=21$$

Skiptu 21 út fyrir y í -7x+5y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-7x+5\times 21=0$$

Margfaldaðu 5 sinnum 21.

$$-7x+105=0$$

Dragðu 105 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-7x=-105$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$x=15$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=15,y=21$$