Leysa {l}{x+y=250}{x/19+y/10=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 250 } \\ { \frac { x } { 19 } + \frac { y } { 10 } = 16 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=190$$

$$y=60$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=16$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=250$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+250$$

Settu -y+250 inn fyrir x í hinni jöfnunni, \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=16.

$$\frac{1}{19}\left(-y+250\right)+\frac{1}{10}y=16$$

Margfaldaðu \frac{1}{19} sinnum -y+250.

$$-\frac{1}{19}y+\frac{250}{19}+\frac{1}{10}y=16$$

Leggðu -\frac{y}{19} saman við \frac{y}{10}.

$$\frac{9}{190}y+\frac{250}{19}=16$$

Dragðu \frac{250}{19} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{9}{190}y=\frac{54}{19}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{9}{190}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=60$$

Skiptu 60 út fyrir y í x=-y+250. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-60+250$$

Leggðu 250 saman við -60.

$$x=190$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=190,y=60$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=16$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}250\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\16\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\16\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&-\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\\-\frac{\frac{1}{19}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}&-\frac{190}{9}\\-\frac{10}{9}&\frac{190}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}\times 250-\frac{190}{9}\times 16\\-\frac{10}{9}\times 250+\frac{190}{9}\times 16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}190\\60\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=190,y=60$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=16$$

Til að gera x og \frac{x}{19} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með \frac{1}{19} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{1}{19}\times 250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=16$$

Einfaldaðu.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19},\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=16$$

Dragðu \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=16 frá \frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19} með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{19}x-\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-16$$

Leggðu \frac{x}{19} saman við -\frac{x}{19}. Liðirnir \frac{x}{19} og -\frac{x}{19} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-16$$

Leggðu \frac{y}{19} saman við -\frac{y}{10}.

$$-\frac{9}{190}y=\frac{250}{19}-16$$

Leggðu \frac{250}{19} saman við -16.

$$-\frac{9}{190}y=-\frac{54}{19}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{9}{190}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=60$$

Skiptu 60 út fyrir y í \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=16. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}\times 60=16$$

Margfaldaðu \frac{1}{10} sinnum 60.

$$\frac{1}{19}x+6=16$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{19}x=10$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 19.

$$x=190$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=190,y=60$$