Leysa {l}{x+y=20}{6x=4y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 20 } \\ { 6 x = 4 y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=8$$

$$y=12$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 4y frá báðum hliðum.

$$6x-4y=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=20,6x-4y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=20$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+20$$

Settu -y+20 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x-4y=0.

$$6\left(-y+20\right)-4y=0$$

Margfaldaðu 6 sinnum -y+20.

$$-6y+120-4y=0$$

Leggðu -6y saman við -4y.

$$-10y+120=0$$

Dragðu 120 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-10y=-120$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=12$$

Skiptu 12 út fyrir y í x=-y+20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-12+20$$

Leggðu 20 saman við -12.

$$x=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=8,y=12$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 4y frá báðum hliðum.

$$6x-4y=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=20,6x-4y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-6}&-\frac{1}{-4-6}\\-\frac{6}{-4-6}&\frac{1}{-4-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{10}\\\frac{3}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 20\\\frac{3}{5}\times 20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=8,y=12$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 4y frá báðum hliðum.

$$6x-4y=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=20,6x-4y=0$$

Til að gera x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$6x+6y=6\times 20,6x-4y=0$$

Einfaldaðu.

$$6x+6y=120,6x-4y=0$$

Dragðu 6x-4y=0 frá 6x+6y=120 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+6y+4y=120$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y+4y=120$$

Leggðu 6y saman við 4y.

$$10y=120$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$y=12$$

Skiptu 12 út fyrir y í 6x-4y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x-4\times 12=0$$

Margfaldaðu -4 sinnum 12.

$$6x-48=0$$

Leggðu 48 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x=48$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=8,y=12$$