Leysa {l}{x+y=10}{x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 10 } \\ { x - y = 11 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{21}{2} = 10\frac{1}{2} = 10.5$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=10,x-y=11$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=10$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+10$$

Settu -y+10 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-y=11.

$$-y+10-y=11$$

Leggðu -y saman við -y.

$$-2y+10=11$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2y=1$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Skiptu -\frac{1}{2} út fyrir y í x=-y+10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\left(-\frac{1}{2}\right)+10$$

Margfaldaðu -1 sinnum -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{1}{2}+10$$

Leggðu 10 saman við \frac{1}{2}.

$$x=\frac{21}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{21}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=10,x-y=11$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{2}\times 11\\\frac{1}{2}\times 10-\frac{1}{2}\times 11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{21}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=10,x-y=11$$

Dragðu x-y=11 frá x+y=10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-x+y+y=10-11$$

Leggðu x saman við -x. Liðirnir x og -x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y+y=10-11$$

Leggðu y saman við y.

$$2y=10-11$$

Leggðu 10 saman við -11.

$$2y=-1$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Skiptu -\frac{1}{2} út fyrir y í x-y=11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-\left(-\frac{1}{2}\right)=11$$

Margfaldaðu -1 sinnum -\frac{1}{2}.

$$x+\frac{1}{2}=11$$

Dragðu \frac{1}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{21}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{21}{2},y=-\frac{1}{2}$$