Leysa {l}{x+6y=90}{3x+3y=-30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 6 y = 90 } \\ { 3 x + 3 y = - 30 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-30$$

$$y=20$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+6y=90$$

Dragðu 6y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-6y+90$$

Settu -6y+90 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+3y=-30.

$$3\left(-6y+90\right)+3y=-30$$

Margfaldaðu 3 sinnum -6y+90.

$$-18y+270+3y=-30$$

Leggðu -18y saman við 3y.

$$-15y+270=-30$$

Dragðu 270 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-15y=-300$$

Deildu báðum hliðum með -15.

$$y=20$$

Skiptu 20 út fyrir y í x=-6y+90. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-6\times 20+90$$

Margfaldaðu -6 sinnum 20.

$$x=-120+90$$

Leggðu 90 saman við -120.

$$x=-30$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-30,y=20$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-6\times 3}&-\frac{6}{3-6\times 3}\\-\frac{3}{3-6\times 3}&\frac{1}{3-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 90+\frac{2}{5}\left(-30\right)\\\frac{1}{5}\times 90-\frac{1}{15}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-30,y=20$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

Til að gera x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$3x+3\times 6y=3\times 90,3x+3y=-30$$

Einfaldaðu.

$$3x+18y=270,3x+3y=-30$$

Dragðu 3x+3y=-30 frá 3x+18y=270 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x+18y-3y=270+30$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$18y-3y=270+30$$

Leggðu 18y saman við -3y.

$$15y=270+30$$

Leggðu 270 saman við 30.

$$15y=300$$

Deildu báðum hliðum með 15.

$$y=20$$

Skiptu 20 út fyrir y í 3x+3y=-30. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+3\times 20=-30$$

Margfaldaðu 3 sinnum 20.

$$3x+60=-30$$

Dragðu 60 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-90$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=-30$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-30,y=20$$