Leysa {l}{u+v=10}{3u-2v=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { u + v = 10 } \\ { 3 u - 2 v = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir u, v

$$u=5$$

$$v=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$u+v=10,3u-2v=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu u með því að einangra u vinstra megin við samasemmerkið.

$$u+v=10$$

Dragðu v frá báðum hliðum jöfnunar.

$$u=-v+10$$

Settu -v+10 inn fyrir u í hinni jöfnunni, 3u-2v=5.

$$3\left(-v+10\right)-2v=5$$

Margfaldaðu 3 sinnum -v+10.

$$-3v+30-2v=5$$

Leggðu -3v saman við -2v.

$$-5v+30=5$$

Dragðu 30 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5v=-25$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$v=5$$

Skiptu 5 út fyrir v í u=-v+10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst u strax.

$$u=-5+10$$

Leggðu 10 saman við -5.

$$u=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$u=5,v=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$u+v=10,3u-2v=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3}&-\frac{1}{-2-3}\\-\frac{3}{-2-3}&\frac{1}{-2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 10+\frac{1}{5}\times 5\\\frac{3}{5}\times 10-\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna u og v.

$$u=5,v=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$u+v=10,3u-2v=5$$

Til að gera u og 3u jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$3u+3v=3\times 10,3u-2v=5$$

Einfaldaðu.

$$3u+3v=30,3u-2v=5$$

Dragðu 3u-2v=5 frá 3u+3v=30 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3u-3u+3v+2v=30-5$$

Leggðu 3u saman við -3u. Liðirnir 3u og -3u núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3v+2v=30-5$$

Leggðu 3v saman við 2v.

$$5v=30-5$$

Leggðu 30 saman við -5.

$$5v=25$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$v=5$$

Skiptu 5 út fyrir v í 3u-2v=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst u strax.

$$3u-2\times 5=5$$

Margfaldaðu -2 sinnum 5.

$$3u-10=5$$

Leggðu 10 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3u=15$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$u=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$u=5,v=5$$