Leysa {l}{ty+2=x}{x^2+4y^2=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { t y + 2 = x } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2\text{, }y=0$$

$$x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}$$

Skref með innsetningu og annars stigs formúlu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$ty+2-x=0$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$ty-x=-2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$ty-x=-2,x^{2}+4y^{2}=4$$

Leystu ty-x=-2 fyrir y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$ty-x=-2$$

Dragðu -x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$ty=x-2$$

Deildu báðum hliðum með t.

$$y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}$$

Settu \frac{1}{t}x-\frac{2}{t} inn fyrir y í hinni jöfnunni, x^{2}+4y^{2}=4.

$$x^{2}+4\left(\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

Hefðu \frac{1}{t}x-\frac{2}{t} í annað veldi.

$$x^{2}+4\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}\right)=4$$

Margfaldaðu 4 sinnum \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}.

$$x^{2}+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

Leggðu x^{2} saman við 4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}-4=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} inn fyrir a, 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) inn fyrir b og \frac{16}{t^{2}}-4 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\left(8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}\right)^{2}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Hefðu 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) í annað veldi.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+\left(-4-\frac{16}{t^{2}}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Margfaldaðu -4-\frac{16}{t^{2}} sinnum \frac{16}{t^{2}}-4.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+16-\frac{256}{t^{4}}}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Leggðu \frac{256}{t^{4}} saman við -\frac{256}{t^{4}}+16.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{16}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Finndu kvaðratrót 16.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±4}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}.

$$x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} þegar ± er plús. Leggðu \frac{16}{t^{2}} saman við 4.

$$x=\frac{4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

Deildu 4+\frac{16}{t^{2}} með 2+\frac{8}{t^{2}}.

$$x=2$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} þegar ± er mínus. Dragðu 4 frá \frac{16}{t^{2}}.

$$x=\frac{-4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

Deildu \frac{16}{t^{2}}-4 með 2+\frac{8}{t^{2}}.

$$x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

Hægt er að leysa x á tvenna vegu: 2 og -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}. Skiptu 2 út fyrir x í jöfnunni y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} til að finna samsvarandi lausn fyrir y sem uppfyllir báðar jöfnur.

$$y=\frac{1}{t}\times 2-\frac{2}{t}$$

Margfaldaðu \frac{1}{t} sinnum 2.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

Settu núna -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} inn fyrir x í jöfnunni y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} og leystu hana til að finna samsvarandi lausn fyrir y sem uppfyllir báðar jöfnur.

$$y=\frac{1}{t}\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)-\frac{2}{t}$$

Margfaldaðu \frac{1}{t} sinnum -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}.

$$y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=2\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

Leystu fyrir x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2\text{, }y=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}\text{, }&t\neq -2i\text{ and }t\neq 2i\end{matrix}\right.$$