Leysa {l}{rx-ry=1}{rx-9y=r}

$$\left\{ \begin{array} { l } { r x - r y = 1 } \\ { r x - 9 y = r } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

$$y=-\frac{1-r}{r-9}$$

$$r\neq 9\text{ and }r\neq 0$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$rx+\left(-r\right)y=1$$

Leggðu ry saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$rx=ry+1$$

Deildu báðum hliðum með r.

$$x=\frac{1}{r}\left(ry+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{r} sinnum ry+1.

$$x=y+\frac{1}{r}$$

Settu y+\frac{1}{r} inn fyrir x í hinni jöfnunni, rx-9y=r.

$$r\left(y+\frac{1}{r}\right)-9y=r$$

Margfaldaðu r sinnum y+\frac{1}{r}.

$$ry+1-9y=r$$

Leggðu ry saman við -9y.

$$\left(r-9\right)y+1=r$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(r-9\right)y=r-1$$

Deildu báðum hliðum með r-9.

$$y=\frac{r-1}{r-9}$$

Skiptu \frac{r-1}{r-9} út fyrir y í x=y+\frac{1}{r}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{r-1}{r-9}+\frac{1}{r}$$

Leggðu \frac{1}{r} saman við \frac{r-1}{r-9}.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&-\frac{-r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\\-\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}&\frac{1}{r-9}\\-\frac{1}{r-9}&\frac{1}{r-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}+\frac{1}{r-9}r\\-\frac{1}{r-9}+\frac{1}{r-9}r\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}\\\frac{r-1}{r-9}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Dragðu rx-9y=r frá rx+\left(-r\right)y=1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$rx+\left(-r\right)x+\left(-r\right)y+9y=1-r$$

Leggðu rx saman við -rx. Liðirnir rx og -rx núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\left(-r\right)y+9y=1-r$$

Leggðu -ry saman við 9y.

$$\left(9-r\right)y=1-r$$

Deildu báðum hliðum með -r+9.

$$y=\frac{1-r}{9-r}$$

Skiptu \frac{1-r}{-r+9} út fyrir y í rx-9y=r. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$rx-9\times \frac{1-r}{9-r}=r$$

Margfaldaðu -9 sinnum \frac{1-r}{-r+9}.

$$rx-\frac{9\left(1-r\right)}{9-r}=r$$

Leggðu \frac{9\left(1-r\right)}{-r+9} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$rx=-\frac{\left(r-3\right)\left(r+3\right)}{9-r}$$

Deildu báðum hliðum með r.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)},y=\frac{1-r}{9-r}$$