Leysa {l}{m+2n=2}{n-2m+2=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { m + 2 n = 2 } \\ { n - 2 m + 2 = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir m, n

$$m=\frac{2}{5}=0.4$$

$$n=\frac{4}{5}=0.8$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$m+2n=2,-2m+n+2=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu m með því að einangra m vinstra megin við samasemmerkið.

$$m+2n=2$$

Dragðu 2n frá báðum hliðum jöfnunar.

$$m=-2n+2$$

Settu -2n+2 inn fyrir m í hinni jöfnunni, -2m+n+2=2.

$$-2\left(-2n+2\right)+n+2=2$$

Margfaldaðu -2 sinnum -2n+2.

$$4n-4+n+2=2$$

Leggðu 4n saman við n.

$$5n-4+2=2$$

Leggðu -4 saman við 2.

$$5n-2=2$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5n=4$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$n=\frac{4}{5}$$

Skiptu \frac{4}{5} út fyrir n í m=-2n+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$m=-2\times \frac{4}{5}+2$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{4}{5}.

$$m=-\frac{8}{5}+2$$

Leggðu 2 saman við -\frac{8}{5}.

$$m=\frac{2}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=\frac{2}{5},n=\frac{4}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$m+2n=2,-2m+n+2=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 2\\\frac{2}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna m og n.

$$m=\frac{2}{5},n=\frac{4}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$m+2n=2,-2m+n+2=2$$

Til að gera m og -2m jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-2m-2\times 2n=-2\times 2,-2m+n+2=2$$

Einfaldaðu.

$$-2m-4n=-4,-2m+n+2=2$$

Dragðu -2m+n+2=2 frá -2m-4n=-4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2m+2m-4n-n-2=-4-2$$

Leggðu -2m saman við 2m. Liðirnir -2m og 2m núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4n-n-2=-4-2$$

Leggðu -4n saman við -n.

$$-5n-2=-4-2$$

Leggðu -4 saman við -2.

$$-5n-2=-6$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-5n=-4$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$n=\frac{4}{5}$$

Skiptu \frac{4}{5} út fyrir n í -2m+n+2=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$-2m+\frac{4}{5}+2=2$$

Leggðu \frac{4}{5} saman við 2.

$$-2m+\frac{14}{5}=2$$

Dragðu \frac{14}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2m=-\frac{4}{5}$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$m=\frac{2}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=\frac{2}{5},n=\frac{4}{5}$$