Leysa {l}{kx+9y=18}{4x-5y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { kx + 9 y = 18 } \\ { 4 x - 5 y = 20 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{270}{5k+36}$$

$$y=-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}$$

$$k\neq -\frac{36}{5}$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$kx+9y=18,4x-5y=20$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$kx+9y=18$$

Dragðu 9y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$kx=-9y+18$$

Deildu báðum hliðum með k.

$$x=\frac{1}{k}\left(-9y+18\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{k} sinnum -9y+18.

$$x=\left(-\frac{9}{k}\right)y+\frac{18}{k}$$

Settu \frac{9\left(2-y\right)}{k} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x-5y=20.

$$4\left(\left(-\frac{9}{k}\right)y+\frac{18}{k}\right)-5y=20$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{9\left(2-y\right)}{k}.

$$\left(-\frac{36}{k}\right)y+\frac{72}{k}-5y=20$$

Leggðu -\frac{36y}{k} saman við -5y.

$$\left(-5-\frac{36}{k}\right)y+\frac{72}{k}=20$$

Dragðu \frac{72}{k} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(-5-\frac{36}{k}\right)y=20-\frac{72}{k}$$

Deildu báðum hliðum með -\frac{36}{k}-5.

$$y=-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}$$

Skiptu -\frac{4\left(-18+5k\right)}{36+5k} út fyrir y í x=\left(-\frac{9}{k}\right)y+\frac{18}{k}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\left(-\frac{9}{k}\right)\left(-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}\right)+\frac{18}{k}$$

Margfaldaðu -\frac{9}{k} sinnum -\frac{4\left(-18+5k\right)}{36+5k}.

$$x=\frac{36\left(5k-18\right)}{k\left(5k+36\right)}+\frac{18}{k}$$

Leggðu \frac{18}{k} saman við \frac{36\left(-18+5k\right)}{k\left(36+5k\right)}.

$$x=\frac{270}{5k+36}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{270}{5k+36},y=-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$kx+9y=18,4x-5y=20$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{k\left(-5\right)-9\times 4}&-\frac{9}{k\left(-5\right)-9\times 4}\\-\frac{4}{k\left(-5\right)-9\times 4}&\frac{k}{k\left(-5\right)-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5k+36}&\frac{9}{5k+36}\\\frac{4}{5k+36}&-\frac{k}{5k+36}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5k+36}\times 18+\frac{9}{5k+36}\times 20\\\frac{4}{5k+36}\times 18+\left(-\frac{k}{5k+36}\right)\times 20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{270}{5k+36}\\\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{270}{5k+36},y=\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$kx+9y=18,4x-5y=20$$

Til að gera kx og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með k.

$$4kx+4\times 9y=4\times 18,k\times 4x+k\left(-5\right)y=k\times 20$$

Einfaldaðu.

$$4kx+36y=72,4kx+\left(-5k\right)y=20k$$

Dragðu 4kx+\left(-5k\right)y=20k frá 4kx+36y=72 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4kx+\left(-4k\right)x+36y+5ky=72-20k$$

Leggðu 4kx saman við -4kx. Liðirnir 4kx og -4kx núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$36y+5ky=72-20k$$

Leggðu 36y saman við 5ky.

$$\left(5k+36\right)y=72-20k$$

Deildu báðum hliðum með 36+5k.

$$y=\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}$$

Skiptu \frac{4\left(18-5k\right)}{36+5k} út fyrir y í 4x-5y=20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x-5\times \frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}=20$$

Margfaldaðu -5 sinnum \frac{4\left(18-5k\right)}{36+5k}.

$$4x-\frac{20\left(18-5k\right)}{5k+36}=20$$

Leggðu \frac{20\left(18-5k\right)}{36+5k} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=\frac{1080}{5k+36}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{270}{5k+36}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{270}{5k+36},y=\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}$$