Leysa {l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y (complex solution)

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$a\neq ib\text{ and }a\neq -ib$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

Leggðu by saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$ax=by-8$$

Deildu báðum hliðum með a.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{a} sinnum by-8.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

Settu \frac{by-8}{a} inn fyrir x í hinni jöfnunni, bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

Margfaldaðu b sinnum \frac{by-8}{a}.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

Leggðu \frac{b^{2}y}{a} saman við ay.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

Leggðu -\frac{8b}{a} saman við 1.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

Dragðu \frac{a-8b}{a} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

Deildu báðum hliðum með a+\frac{b^{2}}{a}.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Skiptu \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} út fyrir y í x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

Margfaldaðu \frac{b}{a} sinnum \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

Leggðu -\frac{8}{a} saman við \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Til að gera ax og bx jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með b og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með a.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

Einfaldaðu.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

Dragðu abx+a^{2}y+a=0 frá abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Leggðu bax saman við -bax. Liðirnir bax og -bax núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Leggðu -b^{2}y saman við -a^{2}y.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

Dragðu 8b-a frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

Deildu báðum hliðum með -b^{2}-a^{2}.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

Skiptu -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} út fyrir y í bx+ay+1=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

Margfaldaðu a sinnum -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

Leggðu -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} saman við 1.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

Dragðu \frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

Deildu báðum hliðum með b.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

Leggðu by saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$ax=by-8$$

Deildu báðum hliðum með a.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{a} sinnum by-8.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

Settu \frac{by-8}{a} inn fyrir x í hinni jöfnunni, bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

Margfaldaðu b sinnum \frac{by-8}{a}.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

Leggðu \frac{b^{2}y}{a} saman við ay.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

Leggðu -\frac{8b}{a} saman við 1.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

Dragðu \frac{a-8b}{a} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

Deildu báðum hliðum með a+\frac{b^{2}}{a}.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Skiptu \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} út fyrir y í x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

Margfaldaðu \frac{b}{a} sinnum \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

Leggðu -\frac{8}{a} saman við \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Til að gera ax og bx jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með b og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með a.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

Einfaldaðu.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

Dragðu abx+a^{2}y+a=0 frá abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Leggðu bax saman við -bax. Liðirnir bax og -bax núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Leggðu -b^{2}y saman við -a^{2}y.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

Dragðu 8b-a frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

Deildu báðum hliðum með -b^{2}-a^{2}.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

Skiptu -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} út fyrir y í bx+ay+1=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

Margfaldaðu a sinnum -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

Leggðu -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} saman við 1.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

Dragðu \frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

Deildu báðum hliðum með b.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$