\left\{ \begin{array} { l } { a x - 2 b y = 2 } \\ { 2 x - y = 7 } \end{array} \right.
Leystu fyrir x, y (complex solution)
\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(1-7b\right)}{4b-a}\text{, }y=-\frac{4-7a}{4b-a}\text{, }&a\neq 4b\\x=\frac{y+7}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=\frac{1}{7}\text{ and }a=\frac{4}{7}\end{matrix}\right.
Leystu fyrir x, y
\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(1-7b\right)}{4b-a}\text{, }y=-\frac{4-7a}{4b-a}\text{, }&a\neq 4b\\x=\frac{y+7}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=\frac{1}{7}\text{ and }a=\frac{4}{7}\end{matrix}\right.
Graf
Spurningakeppni
Simultaneous Equation
5 vandamál svipuð og:
\left\{ \begin{array} { l } { a x - 2 b y = 2 } \\ { 2 x - y = 7 } \end{array} \right.
Deila
Afritað á klemmuspjald
ax+\left(-2b\right)y=2,2x-y=7
Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.
ax+\left(-2b\right)y=2
Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.
ax=2by+2
Leggðu 2by saman við báðar hliðar jöfnunar.
x=\frac{1}{a}\left(2by+2\right)
Deildu báðum hliðum með a.
x=\frac{2b}{a}y+\frac{2}{a}
Margfaldaðu \frac{1}{a} sinnum 2by+2.
2\left(\frac{2b}{a}y+\frac{2}{a}\right)-y=7
Settu \frac{2\left(by+1\right)}{a} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-y=7.
\frac{4b}{a}y+\frac{4}{a}-y=7
Margfaldaðu 2 sinnum \frac{2\left(by+1\right)}{a}.
\left(\frac{4b}{a}-1\right)y+\frac{4}{a}=7
Leggðu \frac{4by}{a} saman við -y.
\left(\frac{4b}{a}-1\right)y=7-\frac{4}{a}
Dragðu \frac{4}{a} frá báðum hliðum jöfnunar.
y=\frac{7a-4}{4b-a}
Deildu báðum hliðum með \frac{4b}{a}-1.
x=\frac{2b}{a}\times \frac{7a-4}{4b-a}+\frac{2}{a}
Skiptu \frac{7a-4}{4b-a} út fyrir y í x=\frac{2b}{a}y+\frac{2}{a}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.
x=\frac{2b\left(7a-4\right)}{a\left(4b-a\right)}+\frac{2}{a}
Margfaldaðu \frac{2b}{a} sinnum \frac{7a-4}{4b-a}.
x=\frac{2\left(7b-1\right)}{4b-a}
Leggðu \frac{2}{a} saman við \frac{2b\left(7a-4\right)}{a\left(4b-a\right)}.
x=\frac{2\left(7b-1\right)}{4b-a},y=\frac{7a-4}{4b-a}
Leyst var úr kerfinu.
ax+\left(-2b\right)y=2,2x-y=7
Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.
\left(\begin{matrix}a&-2b\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)
Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.
inverse(\left(\begin{matrix}a&-2b\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-2b\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-2b\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)
Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}a&-2b\\2&-1\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-2b\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)
Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-2b\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)
Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{a\left(-1\right)-\left(-2b\right)\times 2}&-\frac{-2b}{a\left(-1\right)-\left(-2b\right)\times 2}\\-\frac{2}{a\left(-1\right)-\left(-2b\right)\times 2}&\frac{a}{a\left(-1\right)-\left(-2b\right)\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)
Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4b-a}&\frac{2b}{4b-a}\\-\frac{2}{4b-a}&\frac{a}{4b-a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)
Reiknaðu.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{1}{4b-a}\right)\times 2+\frac{2b}{4b-a}\times 7\\\left(-\frac{2}{4b-a}\right)\times 2+\frac{a}{4b-a}\times 7\end{matrix}\right)
Margfaldaðu fylkin.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2\left(7b-1\right)}{4b-a}\\\frac{7a-4}{4b-a}\end{matrix}\right)
Reiknaðu.
x=\frac{2\left(7b-1\right)}{4b-a},y=\frac{7a-4}{4b-a}
Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.
ax+\left(-2b\right)y=2,2x-y=7
Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.
2ax+2\left(-2b\right)y=2\times 2,a\times 2x+a\left(-1\right)y=a\times 7
Til að gera ax og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með a.
2ax+\left(-4b\right)y=4,2ax+\left(-a\right)y=7a
Einfaldaðu.
2ax+\left(-2a\right)x+\left(-4b\right)y+ay=4-7a
Dragðu 2ax+\left(-a\right)y=7a frá 2ax+\left(-4b\right)y=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.
\left(-4b\right)y+ay=4-7a
Leggðu 2ax saman við -2ax. Liðirnir 2ax og -2ax núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.
\left(a-4b\right)y=4-7a
Leggðu -4by saman við ay.
y=\frac{4-7a}{a-4b}
Deildu báðum hliðum með -4b+a.
2x-\frac{4-7a}{a-4b}=7
Skiptu \frac{4-7a}{-4b+a} út fyrir y í 2x-y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.
2x=\frac{4\left(1-7b\right)}{a-4b}
Leggðu \frac{4-7a}{-4b+a} saman við báðar hliðar jöfnunar.
x=\frac{2\left(1-7b\right)}{a-4b}
Deildu báðum hliðum með 2.
x=\frac{2\left(1-7b\right)}{a-4b},y=\frac{4-7a}{a-4b}
Leyst var úr kerfinu.
ax+\left(-2b\right)y=2,2x-y=7
Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.
ax+\left(-2b\right)y=2
Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.
ax=2by+2
Leggðu 2by saman við báðar hliðar jöfnunar.
x=\frac{1}{a}\left(2by+2\right)
Deildu báðum hliðum með a.
x=\frac{2b}{a}y+\frac{2}{a}
Margfaldaðu \frac{1}{a} sinnum 2by+2.
2\left(\frac{2b}{a}y+\frac{2}{a}\right)-y=7
Settu \frac{2\left(by+1\right)}{a} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-y=7.
\frac{4b}{a}y+\frac{4}{a}-y=7
Margfaldaðu 2 sinnum \frac{2\left(by+1\right)}{a}.
\left(\frac{4b}{a}-1\right)y+\frac{4}{a}=7
Leggðu \frac{4by}{a} saman við -y.
\left(\frac{4b}{a}-1\right)y=7-\frac{4}{a}
Dragðu \frac{4}{a} frá báðum hliðum jöfnunar.
y=\frac{7a-4}{4b-a}
Deildu báðum hliðum með \frac{4b}{a}-1.
x=\frac{2b}{a}\times \frac{7a-4}{4b-a}+\frac{2}{a}
Skiptu \frac{7a-4}{4b-a} út fyrir y í x=\frac{2b}{a}y+\frac{2}{a}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.
x=\frac{2b\left(7a-4\right)}{a\left(4b-a\right)}+\frac{2}{a}
Margfaldaðu \frac{2b}{a} sinnum \frac{7a-4}{4b-a}.
x=\frac{2\left(7b-1\right)}{4b-a}
Leggðu \frac{2}{a} saman við \frac{2b\left(7a-4\right)}{a\left(4b-a\right)}.
x=\frac{2\left(7b-1\right)}{4b-a},y=\frac{7a-4}{4b-a}
Leyst var úr kerfinu.
ax+\left(-2b\right)y=2,2x-y=7
Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.
\left(\begin{matrix}a&-2b\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)
Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.
inverse(\left(\begin{matrix}a&-2b\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-2b\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-2b\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)
Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}a&-2b\\2&-1\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-2b\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)
Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-2b\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)
Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{a\left(-1\right)-\left(-2b\right)\times 2}&-\frac{-2b}{a\left(-1\right)-\left(-2b\right)\times 2}\\-\frac{2}{a\left(-1\right)-\left(-2b\right)\times 2}&\frac{a}{a\left(-1\right)-\left(-2b\right)\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)
Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4b-a}&\frac{2b}{4b-a}\\-\frac{2}{4b-a}&\frac{a}{4b-a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)
Reiknaðu.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{1}{4b-a}\right)\times 2+\frac{2b}{4b-a}\times 7\\\left(-\frac{2}{4b-a}\right)\times 2+\frac{a}{4b-a}\times 7\end{matrix}\right)
Margfaldaðu fylkin.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2\left(7b-1\right)}{4b-a}\\\frac{7a-4}{4b-a}\end{matrix}\right)
Reiknaðu.
x=\frac{2\left(7b-1\right)}{4b-a},y=\frac{7a-4}{4b-a}
Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.
ax+\left(-2b\right)y=2,2x-y=7
Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.
2ax+2\left(-2b\right)y=2\times 2,a\times 2x+a\left(-1\right)y=a\times 7
Til að gera ax og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með a.
2ax+\left(-4b\right)y=4,2ax+\left(-a\right)y=7a
Einfaldaðu.
2ax+\left(-2a\right)x+\left(-4b\right)y+ay=4-7a
Dragðu 2ax+\left(-a\right)y=7a frá 2ax+\left(-4b\right)y=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.
\left(-4b\right)y+ay=4-7a
Leggðu 2ax saman við -2ax. Liðirnir 2ax og -2ax núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.
\left(a-4b\right)y=4-7a
Leggðu -4by saman við ay.
y=\frac{4-7a}{a-4b}
Deildu báðum hliðum með -4b+a.
2x-\frac{4-7a}{a-4b}=7
Skiptu \frac{4-7a}{-4b+a} út fyrir y í 2x-y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.
2x=\frac{4\left(1-7b\right)}{a-4b}
Leggðu \frac{4-7a}{-4b+a} saman við báðar hliðar jöfnunar.
x=\frac{2\left(1-7b\right)}{a-4b}
Deildu báðum hliðum með 2.
x=\frac{2\left(1-7b\right)}{a-4b},y=\frac{4-7a}{a-4b}
Leyst var úr kerfinu.
Dæmi
Annars stigs jafna
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Hornafræði
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Línuleg jafna
y = 3x + 4
Reikningslistarinnar
699 * 533
Uppistöðuefni
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Samtímis jafna
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Aðgreining
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Heildun
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Takmörk
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}