Leysa {l}{78x+40y=1280}{120x+8y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 8 y = 2800 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{2120}{87} = 24\frac{32}{87} \approx 24.367816092$$

$$y = -\frac{450}{29} = -15\frac{15}{29} \approx -15.517241379$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$78x+40y=1280$$

Dragðu 40y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$78x=-40y+1280$$

Deildu báðum hliðum með 78.

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{78} sinnum -40y+1280.

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

Settu \frac{-20y+640}{39} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 120x+8y=2800.

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+8y=2800$$

Margfaldaðu 120 sinnum \frac{-20y+640}{39}.

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+8y=2800$$

Leggðu -\frac{800y}{13} saman við 8y.

$$-\frac{696}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

Dragðu \frac{25600}{13} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{696}{13}y=\frac{10800}{13}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{696}{13}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{450}{29}$$

Skiptu -\frac{450}{29} út fyrir y í x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{20}{39}\left(-\frac{450}{29}\right)+\frac{640}{39}$$

Margfaldaðu -\frac{20}{39} sinnum -\frac{450}{29} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{3000}{377}+\frac{640}{39}$$

Leggðu \frac{640}{39} saman við \frac{3000}{377} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{2120}{87}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{78\times 8-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 8-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 8-40\times 120}&\frac{78}{78\times 8-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}&\frac{5}{522}\\\frac{5}{174}&-\frac{13}{696}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}\times 1280+\frac{5}{522}\times 2800\\\frac{5}{174}\times 1280-\frac{13}{696}\times 2800\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2120}{87}\\-\frac{450}{29}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

Til að gera 78x og 120x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 120 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 78.

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 8y=78\times 2800$$

Einfaldaðu.

$$9360x+4800y=153600,9360x+624y=218400$$

Dragðu 9360x+624y=218400 frá 9360x+4800y=153600 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$9360x-9360x+4800y-624y=153600-218400$$

Leggðu 9360x saman við -9360x. Liðirnir 9360x og -9360x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4800y-624y=153600-218400$$

Leggðu 4800y saman við -624y.

$$4176y=153600-218400$$

Leggðu 153600 saman við -218400.

$$4176y=-64800$$

Deildu báðum hliðum með 4176.

$$y=-\frac{450}{29}$$

Skiptu -\frac{450}{29} út fyrir y í 120x+8y=2800. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$120x+8\left(-\frac{450}{29}\right)=2800$$

Margfaldaðu 8 sinnum -\frac{450}{29}.

$$120x-\frac{3600}{29}=2800$$

Leggðu \frac{3600}{29} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$120x=\frac{84800}{29}$$

Deildu báðum hliðum með 120.

$$x=\frac{2120}{87}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$