Leysa {l}{65=190k+b}{60=200k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 65 = 190 k + b } \\ { 60 = 200 k + b } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir k, b

$$k=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$b=160$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$190k+b=65$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$200k+b=60$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$190k+b=65,200k+b=60$$

Veldu eina jöfnuna og leystu k með því að einangra k vinstra megin við samasemmerkið.

$$190k+b=65$$

Dragðu b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$190k=-b+65$$

Deildu báðum hliðum með 190.

$$k=\frac{1}{190}\left(-b+65\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{190} sinnum -b+65.

$$k=-\frac{1}{190}b+\frac{13}{38}$$

Settu -\frac{b}{190}+\frac{13}{38} inn fyrir k í hinni jöfnunni, 200k+b=60.

$$200\left(-\frac{1}{190}b+\frac{13}{38}\right)+b=60$$

Margfaldaðu 200 sinnum -\frac{b}{190}+\frac{13}{38}.

$$-\frac{20}{19}b+\frac{1300}{19}+b=60$$

Leggðu -\frac{20b}{19} saman við b.

$$-\frac{1}{19}b+\frac{1300}{19}=60$$

Dragðu \frac{1300}{19} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{19}b=-\frac{160}{19}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -19.

$$b=160$$

Skiptu 160 út fyrir b í k=-\frac{1}{190}b+\frac{13}{38}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst k strax.

$$k=-\frac{1}{190}\times 160+\frac{13}{38}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{190} sinnum 160.

$$k=-\frac{16}{19}+\frac{13}{38}$$

Leggðu \frac{13}{38} saman við -\frac{16}{19} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$k=-\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$k=-\frac{1}{2},b=160$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$190k+b=65$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$200k+b=60$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$190k+b=65,200k+b=60$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}190&1\\200&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}65\\60\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}190&1\\200&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}190&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}190&1\\200&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}190&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}65\\60\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}190&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}65\\60\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}190&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}65\\60\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{190-200}&-\frac{1}{190-200}\\-\frac{200}{190-200}&\frac{190}{190-200}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}65\\60\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\20&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}65\\60\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 65+\frac{1}{10}\times 60\\20\times 65-19\times 60\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\160\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna k og b.

$$k=-\frac{1}{2},b=160$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$190k+b=65$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$200k+b=60$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$190k+b=65,200k+b=60$$

Dragðu 200k+b=60 frá 190k+b=65 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$190k-200k+b-b=65-60$$

Leggðu b saman við -b. Liðirnir b og -b núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$190k-200k=65-60$$

Leggðu 190k saman við -200k.

$$-10k=65-60$$

Leggðu 65 saman við -60.

$$-10k=5$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$k=-\frac{1}{2}$$

Skiptu -\frac{1}{2} út fyrir k í 200k+b=60. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst b strax.

$$200\left(-\frac{1}{2}\right)+b=60$$

Margfaldaðu 200 sinnum -\frac{1}{2}.

$$-100+b=60$$

Leggðu 100 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$b=160$$

Leyst var úr kerfinu.

$$k=-\frac{1}{2},b=160$$