Leysa {l}{6x+3y=60}{2x+5y=800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 60 } \\ { 2 x + 5 y = 800 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{175}{2} = -87\frac{1}{2} = -87.5$$

$$y=195$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6x+3y=60,2x+5y=800$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6x+3y=60$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=-3y+60$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+60\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum -3y+60.

$$x=-\frac{1}{2}y+10$$

Settu -\frac{y}{2}+10 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+5y=800.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+10\right)+5y=800$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{y}{2}+10.

$$-y+20+5y=800$$

Leggðu -y saman við 5y.

$$4y+20=800$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4y=780$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=195$$

Skiptu 195 út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\times 195+10$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum 195.

$$x=-\frac{195}{2}+10$$

Leggðu 10 saman við -\frac{195}{2}.

$$x=-\frac{175}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{175}{2},y=195$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6x+3y=60,2x+5y=800$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{6\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{6\times 5-3\times 2}&\frac{6}{6\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 60-\frac{1}{8}\times 800\\-\frac{1}{12}\times 60+\frac{1}{4}\times 800\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{175}{2}\\195\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{175}{2},y=195$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6x+3y=60,2x+5y=800$$

Til að gera 6x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.

$$2\times 6x+2\times 3y=2\times 60,6\times 2x+6\times 5y=6\times 800$$

Einfaldaðu.

$$12x+6y=120,12x+30y=4800$$

Dragðu 12x+30y=4800 frá 12x+6y=120 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x+6y-30y=120-4800$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y-30y=120-4800$$

Leggðu 6y saman við -30y.

$$-24y=120-4800$$

Leggðu 120 saman við -4800.

$$-24y=-4680$$

Deildu báðum hliðum með -24.

$$y=195$$

Skiptu 195 út fyrir y í 2x+5y=800. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+5\times 195=800$$

Margfaldaðu 5 sinnum 195.

$$2x+975=800$$

Dragðu 975 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-175$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-\frac{175}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{175}{2},y=195$$