Leysa {l}{5x-y=110}{9y-x=110}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 110 } \\ { 9 y - x = 110 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=25$$

$$y=15$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-y=110$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=y+110$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+110\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum y+110.

$$x=\frac{1}{5}y+22$$

Settu \frac{y}{5}+22 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+9y=110.

$$-\left(\frac{1}{5}y+22\right)+9y=110$$

Margfaldaðu -1 sinnum \frac{y}{5}+22.

$$-\frac{1}{5}y-22+9y=110$$

Leggðu -\frac{y}{5} saman við 9y.

$$\frac{44}{5}y-22=110$$

Leggðu 22 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{44}{5}y=132$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{44}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=15$$

Skiptu 15 út fyrir y í x=\frac{1}{5}y+22. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{5}\times 15+22$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 15.

$$x=3+22$$

Leggðu 22 saman við 3.

$$x=25$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=25,y=15$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}&\frac{1}{44}\\\frac{1}{44}&\frac{5}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}\times 110+\frac{1}{44}\times 110\\\frac{1}{44}\times 110+\frac{5}{44}\times 110\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=25,y=15$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

Til að gera 5x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$-5x-\left(-y\right)=-110,5\left(-1\right)x+5\times 9y=5\times 110$$

Einfaldaðu.

$$-5x+y=-110,-5x+45y=550$$

Dragðu -5x+45y=550 frá -5x+y=-110 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-5x+5x+y-45y=-110-550$$

Leggðu -5x saman við 5x. Liðirnir -5x og 5x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y-45y=-110-550$$

Leggðu y saman við -45y.

$$-44y=-110-550$$

Leggðu -110 saman við -550.

$$-44y=-660$$

Deildu báðum hliðum með -44.

$$y=15$$

Skiptu 15 út fyrir y í -x+9y=110. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x+9\times 15=110$$

Margfaldaðu 9 sinnum 15.

$$-x+135=110$$

Dragðu 135 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-25$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=25$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=25,y=15$$