Leysa {l}{5x-3y=13}{-9x-2y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 13 } \\ { - 9 x - 2 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{32}{37}\approx 0.864864865$$

$$y = -\frac{107}{37} = -2\frac{33}{37} \approx -2.891891892$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-3y=13$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=3y+13$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+13\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 3y+13.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}$$

Settu \frac{3y+13}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -9x-2y=-2.

$$-9\left(\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}\right)-2y=-2$$

Margfaldaðu -9 sinnum \frac{3y+13}{5}.

$$-\frac{27}{5}y-\frac{117}{5}-2y=-2$$

Leggðu -\frac{27y}{5} saman við -2y.

$$-\frac{37}{5}y-\frac{117}{5}=-2$$

Leggðu \frac{117}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{37}{5}y=\frac{107}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{37}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{107}{37}$$

Skiptu -\frac{107}{37} út fyrir y í x=\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{107}{37}\right)+\frac{13}{5}$$

Margfaldaðu \frac{3}{5} sinnum -\frac{107}{37} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{321}{185}+\frac{13}{5}$$

Leggðu \frac{13}{5} saman við -\frac{321}{185} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{32}{37}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}&-\frac{-3}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}&-\frac{3}{37}\\-\frac{9}{37}&-\frac{5}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}\times 13-\frac{3}{37}\left(-2\right)\\-\frac{9}{37}\times 13-\frac{5}{37}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{32}{37}\\-\frac{107}{37}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

Til að gera 5x og -9x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -9 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$-9\times 5x-9\left(-3\right)y=-9\times 13,5\left(-9\right)x+5\left(-2\right)y=5\left(-2\right)$$

Einfaldaðu.

$$-45x+27y=-117,-45x-10y=-10$$

Dragðu -45x-10y=-10 frá -45x+27y=-117 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-45x+45x+27y+10y=-117+10$$

Leggðu -45x saman við 45x. Liðirnir -45x og 45x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$27y+10y=-117+10$$

Leggðu 27y saman við 10y.

$$37y=-117+10$$

Leggðu -117 saman við 10.

$$37y=-107$$

Deildu báðum hliðum með 37.

$$y=-\frac{107}{37}$$

Skiptu -\frac{107}{37} út fyrir y í -9x-2y=-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-9x-2\left(-\frac{107}{37}\right)=-2$$

Margfaldaðu -2 sinnum -\frac{107}{37}.

$$-9x+\frac{214}{37}=-2$$

Dragðu \frac{214}{37} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-9x=-\frac{288}{37}$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$x=\frac{32}{37}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$