Leysa {l}{5x+2y=6}{2x+5y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 6 } \\ { 2 x + 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+2y=6$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-2y+6$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -2y+6.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}$$

Settu \frac{-2y+6}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+5y=8.

$$2\left(-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}\right)+5y=8$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-2y+6}{5}.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{12}{5}+5y=8$$

Leggðu -\frac{4y}{5} saman við 5y.

$$\frac{21}{5}y+\frac{12}{5}=8$$

Dragðu \frac{12}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{21}{5}y=\frac{28}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{21}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{4}{3}$$

Skiptu \frac{4}{3} út fyrir y í x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{5}\times \frac{4}{3}+\frac{6}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{5} sinnum \frac{4}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{8}{15}+\frac{6}{5}$$

Leggðu \frac{6}{5} saman við -\frac{8}{15} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{2}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2\times 2}&-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}\\-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}&\frac{5}{5\times 5-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&-\frac{2}{21}\\-\frac{2}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 6-\frac{2}{21}\times 8\\-\frac{2}{21}\times 6+\frac{5}{21}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

Til að gera 5x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\times 6,5\times 2x+5\times 5y=5\times 8$$

Einfaldaðu.

$$10x+4y=12,10x+25y=40$$

Dragðu 10x+25y=40 frá 10x+4y=12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x+4y-25y=12-40$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4y-25y=12-40$$

Leggðu 4y saman við -25y.

$$-21y=12-40$$

Leggðu 12 saman við -40.

$$-21y=-28$$

Deildu báðum hliðum með -21.

$$y=\frac{4}{3}$$

Skiptu \frac{4}{3} út fyrir y í 2x+5y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+5\times \frac{4}{3}=8$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{4}{3}.

$$2x+\frac{20}{3}=8$$

Dragðu \frac{20}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=\frac{4}{3}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$