Leysa {l}{5x+2y=24}{y=x-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 24 } \\ { y = x - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=-2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+2y=24,-x+y=-2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+2y=24$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-2y+24$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+24\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -2y+24.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{24}{5}$$

Settu \frac{-2y+24}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+y=-2.

$$-\left(-\frac{2}{5}y+\frac{24}{5}\right)+y=-2$$

Margfaldaðu -1 sinnum \frac{-2y+24}{5}.

$$\frac{2}{5}y-\frac{24}{5}+y=-2$$

Leggðu \frac{2y}{5} saman við y.

$$\frac{7}{5}y-\frac{24}{5}=-2$$

Leggðu \frac{24}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{7}{5}y=\frac{14}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{7}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{2}{5}y+\frac{24}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{5}\times 2+\frac{24}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{5} sinnum 2.

$$x=\frac{-4+24}{5}$$

Leggðu \frac{24}{5} saman við -\frac{4}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=2$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=-2$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+2y=24,-x+y=-2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{5-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-2\left(-1\right)}&\frac{5}{5-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 24-\frac{2}{7}\left(-2\right)\\\frac{1}{7}\times 24+\frac{5}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=2$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=-2$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+2y=24,-x+y=-2$$

Til að gera 5x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$-5x-2y=-24,5\left(-1\right)x+5y=5\left(-2\right)$$

Einfaldaðu.

$$-5x-2y=-24,-5x+5y=-10$$

Dragðu -5x+5y=-10 frá -5x-2y=-24 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-5x+5x-2y-5y=-24+10$$

Leggðu -5x saman við 5x. Liðirnir -5x og 5x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y-5y=-24+10$$

Leggðu -2y saman við -5y.

$$-7y=-24+10$$

Leggðu -24 saman við 10.

$$-7y=-14$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í -x+y=-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x+2=-2$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-4$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=2$$