Leysa {l}{44k+b=72}{48k+b=64}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 k + b = 72 } \\ { 48 k + b = 64 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir k, b

$$k=-2$$

$$b=160$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

Veldu eina jöfnuna og leystu k með því að einangra k vinstra megin við samasemmerkið.

$$44k+b=72$$

Dragðu b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$44k=-b+72$$

Deildu báðum hliðum með 44.

$$k=\frac{1}{44}\left(-b+72\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{44} sinnum -b+72.

$$k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}$$

Settu -\frac{b}{44}+\frac{18}{11} inn fyrir k í hinni jöfnunni, 48k+b=64.

$$48\left(-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}\right)+b=64$$

Margfaldaðu 48 sinnum -\frac{b}{44}+\frac{18}{11}.

$$-\frac{12}{11}b+\frac{864}{11}+b=64$$

Leggðu -\frac{12b}{11} saman við b.

$$-\frac{1}{11}b+\frac{864}{11}=64$$

Dragðu \frac{864}{11} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{11}b=-\frac{160}{11}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -11.

$$b=160$$

Skiptu 160 út fyrir b í k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst k strax.

$$k=-\frac{1}{44}\times 160+\frac{18}{11}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{44} sinnum 160.

$$k=\frac{-40+18}{11}$$

Leggðu \frac{18}{11} saman við -\frac{40}{11} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$k=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$k=-2,b=160$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{44-48}&-\frac{1}{44-48}\\-\frac{48}{44-48}&\frac{44}{44-48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 72+\frac{1}{4}\times 64\\12\times 72-11\times 64\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\160\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna k og b.

$$k=-2,b=160$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

Dragðu 48k+b=64 frá 44k+b=72 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$44k-48k+b-b=72-64$$

Leggðu b saman við -b. Liðirnir b og -b núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$44k-48k=72-64$$

Leggðu 44k saman við -48k.

$$-4k=72-64$$

Leggðu 72 saman við -64.

$$-4k=8$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$k=-2$$

Skiptu -2 út fyrir k í 48k+b=64. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst b strax.

$$48\left(-2\right)+b=64$$

Margfaldaðu 48 sinnum -2.

$$-96+b=64$$

Leggðu 96 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$b=160$$

Leyst var úr kerfinu.

$$k=-2,b=160$$