Leysa {l}{44=12k+b}{16=82k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 12 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir k, b

$$k=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$b = \frac{244}{5} = 48\frac{4}{5} = 48.8$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$12k+b=44$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$82k+b=16$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

Veldu eina jöfnuna og leystu k með því að einangra k vinstra megin við samasemmerkið.

$$12k+b=44$$

Dragðu b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$12k=-b+44$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$k=\frac{1}{12}\left(-b+44\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{12} sinnum -b+44.

$$k=-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}$$

Settu -\frac{b}{12}+\frac{11}{3} inn fyrir k í hinni jöfnunni, 82k+b=16.

$$82\left(-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}\right)+b=16$$

Margfaldaðu 82 sinnum -\frac{b}{12}+\frac{11}{3}.

$$-\frac{41}{6}b+\frac{902}{3}+b=16$$

Leggðu -\frac{41b}{6} saman við b.

$$-\frac{35}{6}b+\frac{902}{3}=16$$

Dragðu \frac{902}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{35}{6}b=-\frac{854}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{35}{6}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$b=\frac{244}{5}$$

Skiptu \frac{244}{5} út fyrir b í k=-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst k strax.

$$k=-\frac{1}{12}\times \frac{244}{5}+\frac{11}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{12} sinnum \frac{244}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$k=-\frac{61}{15}+\frac{11}{3}$$

Leggðu \frac{11}{3} saman við -\frac{61}{15} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$k=-\frac{2}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$12k+b=44$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$82k+b=16$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12-82}&-\frac{1}{12-82}\\-\frac{82}{12-82}&\frac{12}{12-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{70}&\frac{1}{70}\\\frac{41}{35}&-\frac{6}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{70}\times 44+\frac{1}{70}\times 16\\\frac{41}{35}\times 44-\frac{6}{35}\times 16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\\\frac{244}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna k og b.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$12k+b=44$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$82k+b=16$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

Dragðu 82k+b=16 frá 12k+b=44 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12k-82k+b-b=44-16$$

Leggðu b saman við -b. Liðirnir b og -b núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12k-82k=44-16$$

Leggðu 12k saman við -82k.

$$-70k=44-16$$

Leggðu 44 saman við -16.

$$-70k=28$$

Deildu báðum hliðum með -70.

$$k=-\frac{2}{5}$$

Skiptu -\frac{2}{5} út fyrir k í 82k+b=16. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst b strax.

$$82\left(-\frac{2}{5}\right)+b=16$$

Margfaldaðu 82 sinnum -\frac{2}{5}.

$$-\frac{164}{5}+b=16$$

Leggðu \frac{164}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$b=\frac{244}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$