Leysa {l}{4x-2y=6}{x+2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 6 } \\ { x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-2y=6,x+2y=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-2y=6$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=2y+6$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum 6+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Settu \frac{3+y}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+2y=4.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+2y=4$$

Leggðu \frac{y}{2} saman við 2y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}=4$$

Dragðu \frac{3}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{5}{2}y=\frac{5}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1+3}{2}$$

Leggðu \frac{3}{2} saman við \frac{1}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-2y=6,x+2y=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{4\times 2-\left(-2\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{10}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 6+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{1}{10}\times 6+\frac{2}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-2y=6,x+2y=4$$

Til að gera 4x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$4x-2y=6,4x+4\times 2y=4\times 4$$

Einfaldaðu.

$$4x-2y=6,4x+8y=16$$

Dragðu 4x+8y=16 frá 4x-2y=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4x-4x-2y-8y=6-16$$

Leggðu 4x saman við -4x. Liðirnir 4x og -4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y-8y=6-16$$

Leggðu -2y saman við -8y.

$$-10y=6-16$$

Leggðu 6 saman við -16.

$$-10y=-10$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x+2y=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+2=4$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=1$$