Leysa {l}{4(x+y)-3(x-y)=10}{2(x+y)-3(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 10 } \\ { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 4 með x+y.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -3 með x-y.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

Sameinaðu 4x og -3x til að fá x.

$$x+4y+3y=10$$

Sameinaðu 4y og 3y til að fá 7y.

$$x+7y=10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -3 með x-y.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

Sameinaðu 2x og -3x til að fá -x.

$$-x+2y+3y=2$$

Sameinaðu 2y og 3y til að fá 5y.

$$-x+5y=2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+7y=10$$

Dragðu 7y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-7y+10$$

Settu -7y+10 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+5y=2.

$$-\left(-7y+10\right)+5y=2$$

Margfaldaðu -1 sinnum -7y+10.

$$7y-10+5y=2$$

Leggðu 7y saman við 5y.

$$12y-10=2$$

Leggðu 10 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$12y=12$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=-7y+10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-7+10$$

Leggðu 10 saman við -7.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=1$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 4 með x+y.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -3 með x-y.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

Sameinaðu 4x og -3x til að fá x.

$$x+4y+3y=10$$

Sameinaðu 4y og 3y til að fá 7y.

$$x+7y=10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -3 með x-y.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

Sameinaðu 2x og -3x til að fá -x.

$$-x+2y+3y=2$$

Sameinaðu 2y og 3y til að fá 5y.

$$-x+5y=2$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{5-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-7\left(-1\right)}&\frac{1}{5-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{7}{12}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 10-\frac{7}{12}\times 2\\\frac{1}{12}\times 10+\frac{1}{12}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=1$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 4 með x+y.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -3 með x-y.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

Sameinaðu 4x og -3x til að fá x.

$$x+4y+3y=10$$

Sameinaðu 4y og 3y til að fá 7y.

$$x+7y=10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -3 með x-y.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

Sameinaðu 2x og -3x til að fá -x.

$$-x+2y+3y=2$$

Sameinaðu 2y og 3y til að fá 5y.

$$-x+5y=2$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

Til að gera x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-x-7y=-10,-x+5y=2$$

Dragðu -x+5y=2 frá -x-7y=-10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-x+x-7y-5y=-10-2$$

Leggðu -x saman við x. Liðirnir -x og x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-7y-5y=-10-2$$

Leggðu -7y saman við -5y.

$$-12y=-10-2$$

Leggðu -10 saman við -2.

$$-12y=-12$$

Deildu báðum hliðum með -12.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í -x+5y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x+5=2$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-3$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=1$$