Leysa {l}{3x-y=19}{2x+7y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 19 } \\ { 2 x + 7 y = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-y=19$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=y+19$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+19\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum y+19.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}$$

Settu \frac{19+y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+7y=5.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}\right)+7y=5$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{19+y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{38}{3}+7y=5$$

Leggðu \frac{2y}{3} saman við 7y.

$$\frac{23}{3}y+\frac{38}{3}=5$$

Dragðu \frac{38}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{23}{3}y=-\frac{23}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{23}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{19}{3}$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -1.

$$x=\frac{-1+19}{3}$$

Leggðu \frac{19}{3} saman við -\frac{1}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times 7-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times 7-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 19+\frac{1}{23}\times 5\\-\frac{2}{23}\times 19+\frac{3}{23}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=6,y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 19,3\times 2x+3\times 7y=3\times 5$$

Einfaldaðu.

$$6x-2y=38,6x+21y=15$$

Dragðu 6x+21y=15 frá 6x-2y=38 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-2y-21y=38-15$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y-21y=38-15$$

Leggðu -2y saman við -21y.

$$-23y=38-15$$

Leggðu 38 saman við -15.

$$-23y=23$$

Deildu báðum hliðum með -23.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í 2x+7y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+7\left(-1\right)=5$$

Margfaldaðu 7 sinnum -1.

$$2x-7=5$$

Leggðu 7 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=12$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=-1$$