Leysa {l}{3x-5y=6}{6x+7y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 6 } \\ { 6 x + 7 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-5y=6,6x+7y=-5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-5y=6$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=5y+6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 5y+6.

$$x=\frac{5}{3}y+2$$

Settu \frac{5y}{3}+2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x+7y=-5.

$$6\left(\frac{5}{3}y+2\right)+7y=-5$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{5y}{3}+2.

$$10y+12+7y=-5$$

Leggðu 10y saman við 7y.

$$17y+12=-5$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$17y=-17$$

Deildu báðum hliðum með 17.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=\frac{5}{3}y+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{3}\left(-1\right)+2$$

Margfaldaðu \frac{5}{3} sinnum -1.

$$x=-\frac{5}{3}+2$$

Leggðu 2 saman við -\frac{5}{3}.

$$x=\frac{1}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{3},y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-5y=6,6x+7y=-5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{51}&\frac{5}{51}\\-\frac{2}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{51}\times 6+\frac{5}{51}\left(-5\right)\\-\frac{2}{17}\times 6+\frac{1}{17}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{1}{3},y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-5y=6,6x+7y=-5$$

Til að gera 3x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$6\times 3x+6\left(-5\right)y=6\times 6,3\times 6x+3\times 7y=3\left(-5\right)$$

Einfaldaðu.

$$18x-30y=36,18x+21y=-15$$

Dragðu 18x+21y=-15 frá 18x-30y=36 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$18x-18x-30y-21y=36+15$$

Leggðu 18x saman við -18x. Liðirnir 18x og -18x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-30y-21y=36+15$$

Leggðu -30y saman við -21y.

$$-51y=36+15$$

Leggðu 36 saman við 15.

$$-51y=51$$

Deildu báðum hliðum með -51.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í 6x+7y=-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x+7\left(-1\right)=-5$$

Margfaldaðu 7 sinnum -1.

$$6x-7=-5$$

Leggðu 7 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x=2$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{3},y=-1$$