Leysa {l}{3x+y=2}{3x-2y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 2 } \\ { 3 x - 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+y=2,3x-2y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+y=2$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-y+2$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -y+2.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Settu \frac{-y+2}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-2y=5.

$$3\left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-2y=5$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-y+2}{3}.

$$-y+2-2y=5$$

Leggðu -y saman við -2y.

$$-3y+2=5$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3y=3$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{2}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum -1.

$$x=\frac{1+2}{3}$$

Leggðu \frac{2}{3} saman við \frac{1}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+y=2,3x-2y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{3\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{3\left(-2\right)-3}&\frac{3}{3\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 5\\\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+y=2,3x-2y=5$$

Dragðu 3x-2y=5 frá 3x+y=2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x+y+2y=2-5$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y+2y=2-5$$

Leggðu y saman við 2y.

$$3y=2-5$$

Leggðu 2 saman við -5.

$$3y=-3$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í 3x-2y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-2\left(-1\right)=5$$

Margfaldaðu -2 sinnum -1.

$$3x+2=5$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=3$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-1$$