Leysa {l}{3x+2y-7=0}{x-5y+9=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y - 7 = 0 } \\ { x - 5 y + 9 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+2y-7=0,x-5y+9=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+2y-7=0$$

Leggðu 7 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x+2y=7$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-2y+7$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

Settu \frac{-2y+7}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-5y+9=0.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}-5y+9=0$$

Leggðu -\frac{2y}{3} saman við -5y.

$$-\frac{17}{3}y+\frac{7}{3}+9=0$$

Leggðu \frac{7}{3} saman við 9.

$$-\frac{17}{3}y+\frac{34}{3}=0$$

Dragðu \frac{34}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{17}{3}y=-\frac{34}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{17}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{7}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum 2.

$$x=\frac{-4+7}{3}$$

Leggðu \frac{7}{3} saman við -\frac{4}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+2y-7=0,x-5y+9=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-2}&-\frac{2}{3\left(-5\right)-2}\\-\frac{1}{3\left(-5\right)-2}&\frac{3}{3\left(-5\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{1}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\times 7+\frac{2}{17}\left(-9\right)\\\frac{1}{17}\times 7-\frac{3}{17}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+2y-7=0,x-5y+9=0$$

Til að gera 3x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$3x+2y-7=0,3x+3\left(-5\right)y+3\times 9=0$$

Einfaldaðu.

$$3x+2y-7=0,3x-15y+27=0$$

Dragðu 3x-15y+27=0 frá 3x+2y-7=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x+2y+15y-7-27=0$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y+15y-7-27=0$$

Leggðu 2y saman við 15y.

$$17y-7-27=0$$

Leggðu -7 saman við -27.

$$17y-34=0$$

Leggðu 34 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$17y=34$$

Deildu báðum hliðum með 17.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x-5y+9=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-5\times 2+9=0$$

Margfaldaðu -5 sinnum 2.

$$x-10+9=0$$

Leggðu -10 saman við 9.

$$x-1=0$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=2$$