Leysa {l}{3x+2=4y}{x+y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 = 4 y } \\ { x + y = 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7} \approx 5.428571429$$

$$y = \frac{32}{7} = 4\frac{4}{7} \approx 4.571428571$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 4y frá báðum hliðum.

$$3x+2-4y=0$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$3x-4y=-2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-4y=-2$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=4y-2$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 4y-2.

$$x=\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}$$

Settu \frac{4y-2}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=10.

$$\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}+y=10$$

Leggðu \frac{4y}{3} saman við y.

$$\frac{7}{3}y-\frac{2}{3}=10$$

Leggðu \frac{2}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{7}{3}y=\frac{32}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{7}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{32}{7}$$

Skiptu \frac{32}{7} út fyrir y í x=\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{4}{3}\times \frac{32}{7}-\frac{2}{3}$$

Margfaldaðu \frac{4}{3} sinnum \frac{32}{7} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{128}{21}-\frac{2}{3}$$

Leggðu -\frac{2}{3} saman við \frac{128}{21} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{38}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 4y frá báðum hliðum.

$$3x+2-4y=0$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$3x-4y=-2$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{3-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-4\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{4}{7}\times 10\\-\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{38}{7}\\\frac{32}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 4y frá báðum hliðum.

$$3x+2-4y=0$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$3x-4y=-2$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

Til að gera 3x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$3x-4y=-2,3x+3y=3\times 10$$

Einfaldaðu.

$$3x-4y=-2,3x+3y=30$$

Dragðu 3x+3y=30 frá 3x-4y=-2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x-4y-3y=-2-30$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y-3y=-2-30$$

Leggðu -4y saman við -3y.

$$-7y=-2-30$$

Leggðu -2 saman við -30.

$$-7y=-32$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=\frac{32}{7}$$

Skiptu \frac{32}{7} út fyrir y í x+y=10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+\frac{32}{7}=10$$

Dragðu \frac{32}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{38}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$