Leysa {l}{3(x+y)=5x-y+2}{2(x-y)=3x+y-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) = 5 x - y + 2 } \\ { 2 ( x - y ) = 3 x + y - 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x+y.

$$3x+3y=5x-y+2$$

Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$3x+3y-5x=-y+2$$

Sameinaðu 3x og -5x til að fá -2x.

$$-2x+3y=-y+2$$

Bættu y við báðar hliðar.

$$-2x+3y+y=2$$

Sameinaðu 3y og y til að fá 4y.

$$-2x+4y=2$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x-y.

$$2x-2y=3x+y-4$$

Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$2x-2y-3x=y-4$$

Sameinaðu 2x og -3x til að fá -x.

$$-x-2y=y-4$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$-x-2y-y=-4$$

Sameinaðu -2y og -y til að fá -3y.

$$-x-3y=-4$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-2x+4y=2$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=-4y+2$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4y+2\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -4y+2.

$$x=2y-1$$

Settu 2y-1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x-3y=-4.

$$-\left(2y-1\right)-3y=-4$$

Margfaldaðu -1 sinnum 2y-1.

$$-2y+1-3y=-4$$

Leggðu -2y saman við -3y.

$$-5y+1=-4$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5y=-5$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=2y-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2-1$$

Leggðu -1 saman við 2.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=1$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x+y.

$$3x+3y=5x-y+2$$

Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$3x+3y-5x=-y+2$$

Sameinaðu 3x og -5x til að fá -2x.

$$-2x+3y=-y+2$$

Bættu y við báðar hliðar.

$$-2x+3y+y=2$$

Sameinaðu 3y og y til að fá 4y.

$$-2x+4y=2$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x-y.

$$2x-2y=3x+y-4$$

Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$2x-2y-3x=y-4$$

Sameinaðu 2x og -3x til að fá -x.

$$-x-2y=y-4$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$-x-2y-y=-4$$

Sameinaðu -2y og -y til að fá -3y.

$$-x-3y=-4$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\times 2-\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\times 2-\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=1$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x+y.

$$3x+3y=5x-y+2$$

Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$3x+3y-5x=-y+2$$

Sameinaðu 3x og -5x til að fá -2x.

$$-2x+3y=-y+2$$

Bættu y við báðar hliðar.

$$-2x+3y+y=2$$

Sameinaðu 3y og y til að fá 4y.

$$-2x+4y=2$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x-y.

$$2x-2y=3x+y-4$$

Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$2x-2y-3x=y-4$$

Sameinaðu 2x og -3x til að fá -x.

$$-x-2y=y-4$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$-x-2y-y=-4$$

Sameinaðu -2y og -y til að fá -3y.

$$-x-3y=-4$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

Til að gera -2x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -2.

$$-\left(-2\right)x-4y=-2,-2\left(-1\right)x-2\left(-3\right)y=-2\left(-4\right)$$

Einfaldaðu.

$$2x-4y=-2,2x+6y=8$$

Dragðu 2x+6y=8 frá 2x-4y=-2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x-4y-6y=-2-8$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y-6y=-2-8$$

Leggðu -4y saman við -6y.

$$-10y=-2-8$$

Leggðu -2 saman við -8.

$$-10y=-10$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í -x-3y=-4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x-3=-4$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-x=-1$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=1$$