Leysa {l}{3+y-z=0}{6-3y+8z=33}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 + y - z = 0 } \\ { 6 - 3 y + 8 z = 33 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, z

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

$$z = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-z+3=0,-3y+8z+6=33$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-z+3=0$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y-z=-3$$

Leggðu z saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=z-3$$

Settu z-3 inn fyrir y í hinni jöfnunni, -3y+8z+6=33.

$$-3\left(z-3\right)+8z+6=33$$

Margfaldaðu -3 sinnum z-3.

$$-3z+9+8z+6=33$$

Leggðu -3z saman við 8z.

$$5z+9+6=33$$

Leggðu 9 saman við 6.

$$5z+15=33$$

Dragðu 15 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5z=18$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$z=\frac{18}{5}$$

Skiptu \frac{18}{5} út fyrir z í y=z-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{18}{5}-3$$

Leggðu -3 saman við \frac{18}{5}.

$$y=\frac{3}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{3}{5},z=\frac{18}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-z+3=0,-3y+8z+6=33$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\27\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\27\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\27\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\27\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{8-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{8-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{8-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\27\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\27\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\times 27\\\frac{3}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\times 27\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og z.

$$y=\frac{3}{5},z=\frac{18}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-z+3=0,-3y+8z+6=33$$

Til að gera y og -3y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-3y-3\left(-1\right)z-3\times 3=0,-3y+8z+6=33$$

Einfaldaðu.

$$-3y+3z-9=0,-3y+8z+6=33$$

Dragðu -3y+8z+6=33 frá -3y+3z-9=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-3y+3y+3z-8z-9-6=-33$$

Leggðu -3y saman við 3y. Liðirnir -3y og 3y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3z-8z-9-6=-33$$

Leggðu 3z saman við -8z.

$$-5z-9-6=-33$$

Leggðu -9 saman við -6.

$$-5z-15=-33$$

Leggðu 15 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-5z=-18$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$z=\frac{18}{5}$$

Skiptu \frac{18}{5} út fyrir z í -3y+8z+6=33. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-3y+8\times \frac{18}{5}+6=33$$

Margfaldaðu 8 sinnum \frac{18}{5}.

$$-3y+\frac{144}{5}+6=33$$

Leggðu \frac{144}{5} saman við 6.

$$-3y+\frac{174}{5}=33$$

Dragðu \frac{174}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3y=-\frac{9}{5}$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=\frac{3}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{3}{5},z=\frac{18}{5}$$