Leysa {l}{2x-y=5}{4x+6y=24}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { 4 x + 6 y = 24 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8} = 3.375$$

$$y = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-y=5$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=y+5$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Settu \frac{5+y}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+6y=24.

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=24$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{5+y}{2}.

$$2y+10+6y=24$$

Leggðu 2y saman við 6y.

$$8y+10=24$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$8y=14$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$y=\frac{7}{4}$$

Skiptu \frac{7}{4} út fyrir y í x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{7}{4}+\frac{5}{2}$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum \frac{7}{4} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{7}{8}+\frac{5}{2}$$

Leggðu \frac{5}{2} saman við \frac{7}{8} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{27}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 6-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 6-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 6-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 5+\frac{1}{16}\times 24\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{8}\times 24\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{8}\\\frac{7}{4}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

Til að gera 2x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 5,2\times 4x+2\times 6y=2\times 24$$

Einfaldaðu.

$$8x-4y=20,8x+12y=48$$

Dragðu 8x+12y=48 frá 8x-4y=20 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x-4y-12y=20-48$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y-12y=20-48$$

Leggðu -4y saman við -12y.

$$-16y=20-48$$

Leggðu 20 saman við -48.

$$-16y=-28$$

Deildu báðum hliðum með -16.

$$y=\frac{7}{4}$$

Skiptu \frac{7}{4} út fyrir y í 4x+6y=24. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+6\times \frac{7}{4}=24$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{7}{4}.

$$4x+\frac{21}{2}=24$$

Dragðu \frac{21}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=\frac{27}{2}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{27}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$