Leysa {l}{2x+1+3y=-3}{4x-2y+5y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 1 + 3 y = - 3 } \\ { 4 x - 2 y + 5 y = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

$$y = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 1 frá báðum hliðum.

$$2x+3y=-3-1$$

Dragðu 1 frá -3 til að fá út -4.

$$2x+3y=-4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Sameinaðu -2y og 5y til að fá 3y.

$$4x+3y=5$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=-4,4x+3y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=-4$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y-4$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y-4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y-4.

$$x=-\frac{3}{2}y-2$$

Settu -\frac{3y}{2}-2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+3y=5.

$$4\left(-\frac{3}{2}y-2\right)+3y=5$$

Margfaldaðu 4 sinnum -\frac{3y}{2}-2.

$$-6y-8+3y=5$$

Leggðu -6y saman við 3y.

$$-3y-8=5$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-3y=13$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=-\frac{13}{3}$$

Skiptu -\frac{13}{3} út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{13}{3}\right)-2$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum -\frac{13}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{13}{2}-2$$

Leggðu -2 saman við \frac{13}{2}.

$$x=\frac{9}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{9}{2},y=-\frac{13}{3}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 1 frá báðum hliðum.

$$2x+3y=-3-1$$

Dragðu 1 frá -3 til að fá út -4.

$$2x+3y=-4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Sameinaðu -2y og 5y til að fá 3y.

$$4x+3y=5$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=-4,4x+3y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 3-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 3-3\times 4}&\frac{2}{2\times 3-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 5\\\frac{2}{3}\left(-4\right)-\frac{1}{3}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{9}{2},y=-\frac{13}{3}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 1 frá báðum hliðum.

$$2x+3y=-3-1$$

Dragðu 1 frá -3 til að fá út -4.

$$2x+3y=-4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Sameinaðu -2y og 5y til að fá 3y.

$$4x+3y=5$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=-4,4x+3y=5$$

Dragðu 4x+3y=5 frá 2x+3y=-4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-4x+3y-3y=-4-5$$

Leggðu 3y saman við -3y. Liðirnir 3y og -3y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2x-4x=-4-5$$

Leggðu 2x saman við -4x.

$$-2x=-4-5$$

Leggðu -4 saman við -5.

$$-2x=-9$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=\frac{9}{2}$$

Skiptu \frac{9}{2} út fyrir x í 4x+3y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$4\times \frac{9}{2}+3y=5$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{9}{2}.

$$18+3y=5$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3y=-13$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=-\frac{13}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{9}{2},y=-\frac{13}{3}$$